Publicamos la solución al divertimento Fórmula equivocada. Gracias a Floro Damián Aranda Ballesteros, Fernando Carreño Navas, Juan Miguel Expósito, Rocío Goñi Villegas, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín Agüera, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Victoria Peña Blasco, Cristóbal Sánchez Rubio y Juan Manuel Valderas Jaramillo por las soluciones que nos han hecho llegar.
Divertimento:
Un examen tipo test contiene una pregunta en la que se pide determinar el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos son números enteros conocidos. Las cuatro opciones entre las que se da a escoger a los alumnos son números múltiplos de 5.
Un alumnno interpreta mal el enunciado y determina el perímetro del triángulo en lugar del área. Casualmente, obtiene el valor numérico correcto.
¿Cuál es la respuesta al problema?
Solución:
Como el perímetro del triángulo coincide con el área, que es un número entero, y los catetos son números enteros, se deduce que la hipotenusa es también un número entero. Se trata por tanto de un triángulo rectángulo de lados enteros \(x,y,z\). Existen entonces tres números enteros positivos \(a\), \(b\) y \(m\), con \(a>b\), de modo que
$$
x=m(a^2-b^2), \qquad y=2mab, \qquad z=m(a^2+b^2).
$$
De la condición
$$
\frac{1}{2}xy = x+y+z
$$
se deduce que
$$
\frac{1}{2}m(a^2-b^2)2ab=(a^2-b^2)+2ab+(a^2+b^2).
$$
Por tanto
$$
m(a-b)b=2.
$$
Solo hay dos valores enteros de \(b\) que cumplen la identidad anterior:
Si \(b=1\), entonces \(m(a-1)=2\) y se tiene que o bien \(m=a=2\) o bien \(m=1\) y \(a=3\). En ambos casos, \(x=8\), \(y=6\), \(z=10\), salvo un intercambio entre \(x\) e \(y\). La respuesta en este caso sería \(24\), que no es la que se pide pues \(24\) no es divisible entre \(5\).
Si \(b=2\), entonces \(m=1\) y \(a=3\) y se tiene que \(x=5\), \(y=12\), \(z=13\). La respuesta en este caso es \(30\), que es el valor que se pedía.
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