Publicamos la solución al divertimento de los triángulos de área entera. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Fernando Carreño, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla y David Ramos y Victoria Peña por sus respuestas. Agustín Martín nos ha enviado una solución incompleta.
Divertimento:
Se considera la sucesión definida por recurrencia
$$\left\{\begin{array}{l} u_0=2,\quad u_1=4,\\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\;n\geq0.\end{array}\right.$$
Se pide probar que el triángulo \(T_n\), cuyos lados son \(u_n-1,u_n,u_n+1\), con \(n\geq1\), tiene área entera.
Solución:
Para completar la resolución, comenzamos obteniendo el término general de la sucesión que viene dada por una relación de recurrencia lineal. En efecto, las sucesiones que verifican la ecuación \(u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\;n\geq0\) constituyen un espacio vectorial con las operaciones habituales de suma término a término y producto por un escalar en cada término. Además, como necesitamos dos valores iniciales para obtener la sucesión completa, la dimensión de dicho espacio vectorial será \(2\).
Cualquier sucesión de término general de la forma \(\alpha^n\), siendo \(\alpha\) un número real, formará parte del espacio vectorial de antes si \(\alpha\) verifica que \(\alpha^2=4\alpha-1\), es decir, si \(\alpha=2\pm\sqrt{3}\). Como las sucesiones que resultan son independientes, se tendrá que la solución general de las sucesiones \(\{u_n\}\) que verifican la relación de recurrencia inicial será
$$u_n=C_1(2+\sqrt{3})^n+C_2(2-\sqrt{3})^n,$$
para ciertas constantes \(C_1,C_2\) que debemos averiguar. Sustituyendo ahora en los valores iniciales, se obtiene que
$$\left\{\begin{array}{rcrcl} C_1&+&C_2&=&2,\\(2+\sqrt{3})C_1&+&(2-\sqrt{3})C_2&=&4,\end{array}\right.$$
de donde sigue que \(C_1=C_2=1\). Por consiguiente, la sucesión definida en el enunciado tiene por término general \(u_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\).
Una vez que tenemos la expresión general para \(u_n\), deberíamos comprobar que, efectivamente, podemos construir un triángulo de lados \(u_n-1\), \(u_n\) y \(u_n+1\). Es claro que la sucesión es estrictamente creciente (por inducción: si \(u_{n+1}>u_n\), entonces \(u_{n+2}=3u_{n+1}+(u_{n+1}-u_n)>u_{n+1}\)), y como \(u_0>1\), las tres cantidades involucradas son positivas.
Por otro lado, las tres desigualdades triangulares son inmediatas, siempre y cuando tomemos \(n>0\); con el primer valor de \(n\) obtendríamos un triángulo degenerado de lados \(1\), \(2\) y \(3\).
Supongamos pues un triángulo cuyos lados son \(u_n-1\), \(u_n\) y \(u_n+1\) para \(n>0\). Como nos indica Inmaculada Gayte en el vídeo, podemos usar la fórmula de Herón; si el semiperímetro del triángulo es \(3u_n/2\), entonces el área del mismo vendrá dada por
$$S_n=\sqrt{\frac{3}{2}u_n\left(\frac{3}{2}u_n-u_n+1\right)\left(\frac{3}{2}u_n-u_n\right)\left(\frac{3}{2}u_n-u_n-1\right)},$$
es decir, \(S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}u_n\sqrt{u_n^2-4}\).
Para concluir, necesitamos probar que esa expresión es siempre entera. Por un lado,
$$u_n^2-4=(2+\sqrt{3})^{2n}+(2-\sqrt{3})^{2n}+2-4=\left((2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n\right)^2,$$
así que
\begin{align*}S_n&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n\right)\left((2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n\right)\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left((2+\sqrt{3})^{2n}-(2-\sqrt{3})^{2n}\right)\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left((7+4\sqrt{3})^n-(7-4\sqrt{3})^n\right)\\&=\sum_{k=0}^n {n\choose k} 7^{n-k}4^{k-1}\sqrt{3}^{k+1}(1-(-1)^k).\end{align*}
El último factor de cada sumando es no nulo solo cuando \(k\) es impar, así que, en la suma, el exponente de \(\sqrt{3}\) de cada sumando siempre será un entero par no negativo y en conclusión \(S_n\) será un número entero.
F. Damián Aranda ha demostrado que \(S_n\) sigue la relación de recurrencia \(S_{n+2}=14S_{n+1}-S_n\), de modo que si las dos primeras son enteras, el resto también lo será.
De hecho, esta relación y muchísima más información se encuentra en el artículo «A triangle with integral sides and area» de H. W. Gould, que Cristóbal Sánchez Rubio nos ha hecho llegar muy amablemente. Por ejemplo, los inradios de los triángulos \(T_n\) también siguen la misma recurrencia que los \(u_n\), aunque con otros valores iniciales.
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