Las imágenes están prohibidas en la mayor parte de las religiones. Los dioses no quieren que los imaginemos como humanos. Seguramente con buenas razones. El segundo mandamiento dice:
No tendrás otro dios más que yo. No te harás ninguna imagen ni otro modo de figura, de nada que esté por encima de los cielos ni debajo de la tierra, o en el agua. No te inclinarás ante ellos, ni los servirás, pues yo, tu verdadero Dios, soy un dios celoso, que castigará la iniquidad de los padres en los hijos hasta la tercera y cuarta generación. (Exodo 20:3–6).
Ante tamaña salvajada no es extraño que la Iglesia Católica cambiara estos mandamientos y pusiera en su lugar algo más suave
No tomarás en falso el nombre del Señor tu Dios.
Sin embargo en el islam, la prohibición de las figuras la han tomado mucho más en serio, que es por lo que en la Alhambra hay tanta Geometría.
enlosados y cerámicas en la Alhambra
En la Alhambra podemos encontrar ejemplos de los 17 grupos de simetría posibles de enlosados periódicos y el propio Escher se inspiró en ellos para algunos de sus sorprendentes dibujos.
Lo que nos lleva a nuestro tema de hoy los enlosados y a la conjetura de Fuglede. Es sorprendente que una conjetura sobre enlosados tenga sus raíces en la mecánica cuántica y fuera formulada en un artículo publicado en la revista Journal of Functional Analysis el año 1974 por Bent Fuglede, un matemático en la Universidad de Copenhagen.
Irving Segal (1918-1998)
Pero el origen del problema es mucho más antiguo y viene de una pregunta que Irving Segal hizo en 1958 a Bent Fuglede. ¿Cuáles son los abiertos conexos \(\Omega\subset\mathbb R^n\) tales que existan, en el espacio de Hilbert \(L^2(\Omega)\) operadores auto-adjuntos \(H_j\), que conmuten y que sean restricción de \(-i\partial/\partial x_j\)? En estos abiertos, los operadores de la mecánica cuántica pueden ser definidos con sus mismas propiedades. Ya en aquel momento Fuglede había llegado a una caracterización. Una condición necesaria y suficiente es que \(\Omega\) sea espectral. Es decir que exista un conjunto numerable \(\Lambda\subset\mathbb R^n\) de forma que las funciones \(x\mapsto e^{i\langle \lambda, x\rangle}\) con \(\lambda\in\Lambda\) formen un sistema ortogonal completo en \(L^2(\Omega)\). Pero Fuglede no publicó nada entonces porque la condición le pareció poco práctica.
En un trabajo posterior en 1978 es cuando Fuglede consigue, en muchos casos particulares importantes, relacionar directamente la propiedad de \(\Omega\) de ser espectral con la propiedad de enlosar el espacio con copias de la loseta \(\Omega\) (mediante traslaciones).
De manera que formula su conjetura:
Conjetura (Fuglede 1974). Un conjunto medible \(\Omega\subset\mathbb R^n\) con medida positiva y finita enlosa \(\mathbb R^n\) si y solo si \(\Omega\) es espectral.
Bent Fuglede (1925– )
La idea de enlosado es muy amplia. Nosotros nos restringimos en que usamos un solo tipo de loseta y en que solo usamos traslaciones. Eso deja aparte muchos enlosados interesantes. Pero incluso en este caso particular hay muchas cuestiones difíciles y aun no resueltas. Por esto damos una definición matemáticamente rigurosa de lo que aquí entendemos por enlosado.
Definición. Un conjunto medible \(\Omega\subset\mathbb R^d\) con medida finita y positiva se dice que enlosa el espacio si existe un conjunto \(\Gamma\subset\mathbb R^d\) tal que los trasladados \(\gamma+\Omega\) con \(\gamma\in\Gamma\) son disjuntos salvo conjuntos de medida nula, y su unión es \(\mathbb R^d\) salvo conjuntos de medida nula.
Avances
Hay muchos resultados relevantes sobre enlosados muy anteriores a la fecha en que Fuglede establece su conjetura. En particular, Boris Venkov (1934–2011) en 1954 da una caracterización geométrica de las losetas convexas que enlosan \(\mathbb R^d\):
Teorema. Un cuerpo convexo \(\Omega\subset\mathbb R^d\) enlosa el espacio \(\mathbb R^d\) por traslaciones si y sólo si verifica las cuatro condiciones siguientes:
(a) \(\Omega\) es un polítopo convexo.
(b) \(\Omega\) es centralmente simétrico.
(c) Todas las caras de \(\Omega\) son centralmente simétricas.
(d) Cada cinturón de \(\Omega\) consiste de 4 o 6 caras.
Un cinturón de un polítopo con caras centralmente simétricas es un conjunto de caras \((F_j)\) de manera que \(F_{j}\cap F_{j+1}\) es la imagen de \(F_{j-1}\cap F_j\) respecto del centro de \(F_j\).
Es frecuente en Matemáticas que los descubrimientos matemáticos se repitan. En el año 1980 Peter McMullen (1942—) obtuvo el mismo teorema independientemente y con la misma prueba.
El resultado de Venkov tiene una consecuencia importante. Por la prueba del teorema se sabe que dado el cuerpo convexo \(\Omega\) que enlosa \(\mathbb R^d\), se tiene que \(\Omega\) es un polítopo y hay un retículo \(\Lambda\) en \(\mathbb R^d\) tal que los trasladados de \(\Omega\) por los vectores de \(\Lambda\) forman el enlosado. En estas condiciones los resultados de Fuglede demuestran que las exponenciales \(e^{2\pi i\langle \lambda, x\rangle}\) con \(\lambda \in\Lambda^*\), el retículo dual, forman un sistema ortogonal y completo en \(L^2(\Omega)\). Es decir, para cuerpos convexos la conjetura es cierta en la dirección \(\Omega\) enlosa implica \(\Omega\) espectral.
La conjetura en general fue resuelta negativamente en 2004 por Terry Tao. Tao demuestra que en dimensión \(d\ge 5\) existen \(\Omega\) medibles de medida finita y positiva que son espectrales pero no enlosan \(\mathbb R^d\). La prueba de Tao es ingeniosa y depende de muchos resultados anteriores de otros matemáticos. Como en muchas ocasiones la prueba depende de resolver problemas semejantes en situaciones más simples. En particular, como estamos trabajando con traslaciones y enlosados, todo tiene sentido en cualquier grupo. Por ejemplo podemos pensar en enlosados en \(\mathbb Z^d\).
El camino que usa Tao es considerar el grupo \(\mathbb Z_3^6\), donde \(\mathbb Z_3:=\mathbb Z/3\mathbb Z\). Construye un conjunto de seis elementos \(A\subset \mathbb Z_3^6\) que es espectral, pero debido a que \(\mathop{\rm card}(A)=6\) no divide al cardinal \(\mathop{\rm card}(\mathbb Z_3^6)=3^6\), \(A\) no puede enlosar \(\mathbb Z_3^6\). Obsérvese que, dado que los elementos de \(\mathbb Z_3^6\) son multipletes \((a_1,a_2,\dots a_6)\) de restos módulo 3, la exponencial $$\exp\Bigl(\frac{2\pi i}{3}\sum_{j=1}^6 a_j x_j\Bigr),\qquad (x_1,\dots,x_6)\in\mathbb Z_3^6$$ tiene sentido y se puede hablar de conjunto espectral.
Una vez conseguido el contraejemplo a la conjetura de Fuglede en un grupo finito, Tao consigue levantar el ejemplo a \(\mathbb Z^6\) y después a \(\mathbb R^6\). Hay un refinamiento extra con el que consigue rebajar la dimensión a \(\mathbb R^5\).
Hay que decir que Tao consigue encontrar ejemplos de conjuntos espectrales que no enlosan el espacio. La dirección opuesta fue resuelta por Mihail Kolountzakis y Máté Matolcsi en \(\mathbb R^5\), de nuevo usando grupos finitos. Posteriormente se ha rebajado la dimensión a \(d=4\) y \(d=3\). Pero la conjetura de Fuglede en general permanece abierta para dimensiones \(1\) y \(2\).
Problemas en \(\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{Z}^2\)
Si tenemos un conjunto finito de enteros \(A\subset \mathbb Z\), nos podemos preguntar si enlosa todo \(\mathbb Z\). Es decir, si existe un conjunto \(B\subset\mathbb Z\) (necesariamente infinito) tal que los conjuntos \(b+A\) con \(b\in B\) son disjuntos y recubren \(\mathbb Z\). Es decir, \(A+B=\mathbb Z\) y para cada \(n\in\mathbb Z\) existe un único \(a\in A\) y \(b\in B\) tal que \(a+b=n\). Donald J. Newman probó que si existe \(B\) es periódico, esto es, existe \(n\in\mathbb N\) tal que \(B+n=B\). Esto implica que en realidad \(A’=A\bmod n\) y \(B’=B\bmod n\) forman un enlosado de \(\mathbb Z/n\mathbb Z\), en el sentido de que \(A’+B’=\mathbb Z/n\mathbb Z\) y dado \(m\in \mathbb Z/n\mathbb Z\) existe un único \(a\in A’\) y \(b\in B’\) tal que \(m=a’+b’\). Nótese que en este caso no hay diferencia entre los papeles de \(A’\) y \(B’\).
Hay una cosa sorprendente en el trabajo de Newman. Dado \(A\subset\mathbb Z\) finito, consigue caracterizar cuándo \(A\) enlosa \(\mathbb Z \), pero solo cuando el cardinal de \(A\) es una potencia de un número primo. Incluso cuando el cardinal de \(A\) es \(6\) no sabe decidirlo.
Hay muchos problemas interesantes en los enlosados de \(\mathbb Z^d\). Por ejemplo, la conjetura de Lagarias y Wang:
Conjetura. Si un subconjunto finito \(A\subset\mathbb Z^2\) puede enlosar \(\mathbb Z^2\) por traslaciones entonces también lo puede hacer de manera periódica.
En dimensión \(d=1\) Newman ha demostrado que esto es cierto, pero aquí se pregunta para un conjunto de dimensión 2.
El caso convexo
La conjetura de Fuglede, como ha probado Tao, no es cierta en general, pero sí en muchos casos. En el último número de Acta Mathematica se publica la solución positiva de la conjetura en el caso de que supongamos \(\Omega\) convexo. Los autores son Nir Lev (Israel) y Máté Matolcsi (Hungría).
La prueba descansa en la introducción del concepto de enlosado débil. Si \(\Omega\) enlosa \(\mathbb R^d\), existe un conjunto discreto \(\Lambda\subset\mathbb R^d\) tal que los trasladados \(\lambda+\Omega\) son esencialmente disjuntos y cubren \(\mathbb R^d\). Podemos escribir esto como una ecuación $$\chi_\Omega * \sum_{\lambda\in\Lambda}\delta_\lambda =1,$$ donde \(\delta_\lambda\) es la delta de Dirac en \(\lambda\), de manera que la convolución es \(\chi_{\Omega}*\delta_\lambda=\chi_{\lambda+\Omega}\) es la función característica del trasladado. La suma \(\sum_{\lambda\in\Lambda}\delta_\lambda\) es una medida.
Definición. Un enlosado débil de un conjunto \(\Sigma\subset\mathbb R^d\) por \(\Omega\) es una medida positiva y localmente finita \(\mu\), tal que \(\chi_\Omega*\mu=\chi_\Sigma\).
Armados con este concepto Lev y Matolcsi prueban lo siguiente:
Teorema. Sea \(\Omega\) un subconjunto medible y acotado de \(\mathbb R^d\). Si \(\Omega\) es espectral, entonces su complemento \(\Omega^c=\mathbb R^d\smallsetminus \Omega\) admite un enlosado débil \(\mu\).
Maté Matolcsi
Nir Lev
Una vez probado esto, consiguen probar que, siendo además \(\Omega\) convexo, necesariamente verifica las condiciones del teorema de Boris Venkov, es decir, \(\Omega\) es un polítopo, centralmente simétrico, con caras centralmente simétricas y cada cinturón tiene 4 o 6 caras. Se sigue por el teorema de Boris Venkov que \(\Omega\) enlosa \(\mathbb R^d\).
La otra dirección, enlosado implica espectral, ya vimos que era válida para cuerpos convexos.
Para saber más
Hay un survey publicado en español por la Gaceta de dos de los implicados en esta historia y que debemos recomendar en primer lugar. Toda la Gaceta es accesible libre en la red.
En la literatura inglesa encontramos tiling and tile lo que hemos traducido por enlosado y loseta. En la literatura en español se han usado las traducciones teselaciones y teselas. «Tesela», según el diccionario, es cada una de las piezas que forman un mosaico, la palabra «teselación» no figura en el diccionario. «Loseta» es equivalente a «baldosa» y es una pieza fina de cerámica, mármol o piedra, de forma cuadrada o rectangular, para cubrir suelos y paredes.
A mí, «mosaico» me trae a la mente un dibujo hecho con teselas, más bien todas diferentes. Y las baldosas hexagonales no sorprenderán a nadie. Generalmente prefiero las palabras castellanas con la misma raíz que la inglesa, al fin y al cabo estamos evolucionando a un mundo con solo dos idiomas, el inglés y el chino. Pero en este caso loseta y enlosado parecen la traducción correcta.
El acceso al artículo que ha originado la entrada es libre:
La otra dirección de la conjetura fue resuelta en un artículo publicado en Forum Mathematicum, una revista que tiene secuestrado su contenido, gracias a que existe arXiv podemos leer este trabajo.
Mihail Kolountzakis y Máté Matolcsi, Tiles with no spectra, Forum Math. 18 (2006) 519–528. arXiv:math/0406127.
Siempre que he leído un trabajo de Donald J. Newman he quedado sorprendido por la elegancia de su presentación. Leyéndolo confirma que la Matemática es un arte. El artículo sobre los enlosados de \(\mathbb Z\) es fácil de leer:
Es una vergüenza que las revistas inglesas tengan la política de pedir dinero por cada descarga, para este piden 49 €. Pero hay que valorar que McMullen tiene al año siguiente publicado en la misma revista
P. McMullen, Convex bodies which tile space by translation. Acknowledgement of priority, Mathematika 28 (1981) 191,
una nota explicando que su teorema se debe en verdad a Boris Venkov.
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