Factoriales

Este divertimento forma parte del concurso de 2022. Puedes encontrar las bases en este enlace.

Delantal:

Hoy proponemos un divertimento en el que interviene el factorial de un número, que se denota con un signo de admiración: n!. Es una buena ocasión para hablar de los signos iniciales de exclamación e interrogación, característicos de la lengua española. En la segunda edición de la Ortografía de la Real Academia de la Lengua, publicada en 1754 (por aquél entonces ya ejercía sus propósitos de limpiar, fijar y dar esplendor) se reconoce oficialmente el signo inicial de interrogación, con la siguiente justificación:

Por lo tocante a la nota de interrogación se tuvo presente que, además del uso que tiene en fin de oración, hay periodos o cláusulas largas en que no basta la nota que se pone al fin y es necesario desde el principio indicar el sentido y tono interrogante con que debe leerse, por lo que la Academia acuerda que, en estos casos, se use la misma nota interrogante poniéndola tendida sobre la primera voz de la cláusula o periodo con lo que se evitará la confusión y aclarará el sentido y tono que corresponde. Y aunque esto es novedad, ha creído la Academia no debe excusarla siendo necesaria y conveniente.

El signo inicial de exclamación tendría que esperar hasta 1884 para ser incorporado al Diccionario. Hoy en día, la RAE mantiene la necesidad de emplear ambos símbolos:

Los signos de apertura (¿ ¡) son característicos del español y no deben suprimirse por imitación de otras lenguas en las que únicamente se coloca el signo de cierre.

Aunque no aparece en el diccionario panhispánico de dudas ninguna referencia al factorial de un número, hay que reconocer que la notación ¡n! puede ser acertada, una vez superada la sorpresa inicial, para evitar el uso de paréntesis.

Divertimento:

 

Hay cuestiones de Matemáticas que pueden sorprender si se preguntan de forma distinta a la habitual. Así, puede dar qué pensar la pregunta: ¿Es el producto de \(n\) números consecutivos siempre múltiplo de \(n!\)?, cuando en realidad el cociente de esas cantidades es \(\binom{n}{k},\) que es evidentemente entero. Pues hablando de factoriales, preguntamos en este divertimento si es siempre entera la expresión

$$\frac{(2n)!}{(n+1)(n!)^2}$$

o si depende del valor de \(n\).

Soluciones:

Envía tus soluciones, hasta el viernes 28 de octubre, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el lunes 31 de octubre. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.