Publicamos la solución al divertimento del código de barras. Muchas gracias a Fernando Carreño y Agustín Martín por las soluciones que nos han enviado. Marcos Jiménez y Manuel Zambrana nos han enviado una solución incompleta.
Divertimento:
En un código de barras hay \(2n\) barras negras y \(2n\) huecos blancos. Si consideramos que el código es cilíndrico (es decir, suponemos que podemos continuar del final al principio), ¿es posible encontrar un fragmento continuo del código de \(2n\) franjas de las cuales \(n\) sean barras negras y otras \(n\), huecos blancos?
Solución:
Siempre es posible. Aunque el código sea cilíndrico, tomemos una barra o un hueco como inicio, de modo que la franja inmediatamente anterior sea el final. Comenzando por el inicio, escogemos las primeras \(2n\) franjas, de las cuales habrá \(b\) barras y \(h\) huecos. Si \(b=h\), hemos terminado. Si no, nos fijamos en el fragmento complementario. En él habrá \(2n-b\) barras y \(2n-h\) huecos, de modo que las diferencias entre partes de cada tipo en ambos fragmentos serán \(b-h\) y \(h-b\). Como \(b+h=2n\), ambas cantidades serán de la misma paridad y así ambas diferencias serán pares.
Ahora, si partiendo del grupo inicial nos desplazamos, franja a franja, hacia el final, la diferencia puede quedarse igual (si perdemos y añadimos una barra o un hueco) o variar en \(\pm2\) (si perdemos una barra y añadimos un hueco o viceversa). Por tanto, como siguiendo ese proceso la diferencia se desplaza de un entero par a su opuesto, necesariamente deberá pasar por cero, y ese será el fragmento que nos interese.
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