Solución: Presidentes de EEUU

Publicamos la solución al divertimento de los presidentes de EEUU. Muchas gracias a F. Damián Aranda Ballesteros, Fernando Carreño Navas, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín Agüera y Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco por las soluciones que nos han enviado. Juan Miguel Expósito nos ha enviado una solución incompleta.

Divertimento:

Un profesor de historia le pregunta a su amiga Marta por su edad. A Marta, que es matemática, no le apetece dar detalles sobre su edad y disfruta mareando a sus colegas, y le dice: «Te voy a responder así, ya que eres profesor de historia: al multiplicar el número de años que hace que nací por el número de años que hace que tres de los presidentes de los Estados Unidos de América comenzaron cada uno su (primer) mandato obtenemos un número de ocho dígitos de la forma \(ABABABAB\).»

¿Cuál es la edad de Marta?

Nota: en este problema se utiliza que el año actual es 2022 y este listado de presidentes de EEUU.

Solución:

El producto al que hace referencia Marta es

$$ABABABAB = AB \cdot 1010101 = AB \cdot 73 \cdot 101 \cdot 137.$$

Esta descomposición en factores es única si \(AB\) es primo. Se puede comprobar que \(2022-137 = 1885\) y \(2022-101=1921\) son años en los que dos presidentes comenzaron su mandato (G. Cleveland y W. Harding), mientras que \(2022-73=1949\) no coincide con ningún comienzo de primer mandato. Por tanto, la edad de Marta es 73 años, y no se conoce cuál es el presidente que falta. (De hecho, como \(AB\) tiene dos cifras, cualquiera de los quince presidentes que comenzaron hace menos de cien años nos valdría, quedándonos con los trece primeros si consideramos que \(A\) no puede anularse.)

Si \(AB\) no es primo entonces la descomposición no es completa. Puede comprobarse que \(2022-73k\), \(2022-101k\) y \(2022-137k\) no son años de comienzo de mandato presidencial para ningún valor de \(k\) con \(k \geq 2\). Por tanto, en el caso en que \(AB\) no es primo queda como única posibilidad la misma que antes y la edad de Marta es 73 años.

Otra manera de resolver este divertimento, equivalente a la anterior y explorada por nuestros lectores, es considerar que, dado que \(2022-73k\) no es un año de investidura de un nuevo presidente para ningún \(k\geq1\), necesariamente 73 divide a la edad de Marta. Dado que es humana, la única posibilidad asumible es que tiene 73 años. Sin embargo, podríamos olvidarnos de ese hecho. En ese caso, por ejemplo, si hubiera superado a Jeanne Calment y hubiera logrado llegar con esa soltura a los ¡146! años, existirían ocho posibles soluciones (de hecho, existe al menos una para cada múltiplo de \(73\) menor que \(7300\), gracias a las fechas de investidura de D. Trump y J. Biden).