Publicamos la solución al divertimento Reparto de fichas. Gracias a Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, que han resuelto el problema. Se han recibido otras respuestas incompletas.
Divertimento:
Sheldon y Leonard tienen un montón con \(4N\) fichas, la mitad con un signo \(+\) y la otra mitad con un signo \(-\), que deciden repartirse del siguiente modo: Leonard coloca las fichas en una línea, ordenándolas a su elección, para que alternativamente, comenzando Sheldon, cada uno se quede con una ficha de uno de los extremos, hasta que no quede ninguna.
Como Sheldon es algo maniático desea tener el mismo número de fichas de cada signo al terminar el reparto. Por otra parte, Leonard disfruta fastidiando Sheldon, y quiere evitar que este consiga su objetivo.
¿Existe una estrategia ganadora para alguno de los dos?
Solución:
Sheldon siempre puede conseguir quedarse con el mismo número de fichas de cada signo. Una vez que las fichas estén colocadas, las puede enumerar de \(1\) a \(4N\) (contando desde uno de los dos extremos). En todos los turnos de Sheldon, las piezas de los extremos tienen paridad opuesta, por lo que siempre puede elegir una pieza par o una impar, forzando a Leonard a escoger entre dos piezas de posiciones pares o de posiciones impares. Puede seguir la siguiente estrategia:
Si al comenzar el reparto hay las mismas piezas \(+\) en posiciones pares e impares, puede ir escogiendo siempre piezas en posiciones pares, y al final tendrá la mitad de piezas de cada signo.
En caso contrario, supongamos que hay más piezas \(+\) en posiciones pares que impares. Puede ir escogiendo piezas pares hasta que el número de piezas \(+\) que le falten para llegar a \(N\) coincida con el número de piezas \(+\) en posiciones impares, y elegir piezas impares a continuación. Esta situación siempre se da: las piezas \(+\) en posiciones pares que le faltan para llegar a \(N\) son en cada turno más o las mismas que las que están en posiciones impares, y ambas cantidades son decrecientes, por lo que coincidirán en alguna posición intermedia o justo al final del juego.
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