The most beautiful inequation in mathematics

Es probable que parte de esta entrada no goce del rigor y la precisión que exigiría un matemático, y es que ¿cómo definir de manera rigurosa la belleza, la elegancia o la profundidad de una idea? Y aún más, ¿cómo convencer a alguien que no sea matemático o no tenga una cierta formación en matemáticas de que hay belleza o elegancia en ella? Es algo a primera vista subjetivo —sobre gustos no hay nada escrito—, y será un filósofo de las matemáticas, imagino, el que más cerca estará de responder si esto tiene trazas de poder llegar a resolverse algún día. Pero lo cierto es que los matemáticos utilizan este tipo de terminología para referirse a algunas de las obras de los más grandes autores que nos han precedido (y también de los actuales). Famoso es el caso de Paul Erdös y «El Libro»: «No tienes que creer en Dios, pero deberías creer en El Libro», haciendo referencia al libro en el que se incluirían las demostraciones más «hermosas».

Tratar de precisar lo que todo esto significa es como mínimo una labor difícil, pero uno puede encontrar estudios en esta dirección, como el número especial «Aesthetics in Mathematics» en la revista Philosophia Mathematica, Oxford —única revista dedicada por entero a la filosofía de las matemáticas—, el libro La poesía de los números de Antonio J. Durán (RBA, Barcelona 2011), o encuentros en los que participan matemáticos, filósofos e historiadores para tratar de dilucidar estas cuestiones y poner un poco de orden, como el «Mathematical Depth Workshop» celebrado en 2014 en la University of California en Irvine —incluso en este Blog se han dedicado varias entradas: ¡Qué bonicas son las matemáticas!, ¡Qué bonica es la física! o El volcán es sublime—. En este encuentro se citan nombres actuales bien conocidos como el de Andrew Wiles o Terence Tao y, por supuesto, clásicos de esta disciplina como el de Gauss y Euler.

Y aquí nos vamos acercando al tema de esta entrada. Euler, del que no hace falta decir nada que no se sepa ya, es famoso, entre otras muchas cosas, por haber dado con una de las ecuaciones, igualdades o teoremas —elíjase cualquiera de las tres que más apetezca— más «hermosas» de las matemáticas. La famosa igualdad \(e^{i\pi}+1=0\). Salta a la vista (o no) el porqué de esta calificación: es una igualdad simple —dos sumandos en el primer miembro, un elemento en el segundo—; involucra a las constantes, o a algunas de las constantes más importantes en matemáticas: \(e, i, π, 1, 0\); y conecta lo real con lo imaginario. No recuerdo haberme encontrado a nadie que no haya apreciado su «belleza», y es de hecho más que conocida por ello. En el libro Euler’s Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics de Robin Wilson (Open University & Oxford) se incide en este tema. Pero el caso es que en algún momento, y teniendo en mente el título del libro justamente citado, me dio por pensar en desigualdades, ya no en igualdades, que fueran merecedoras de estar al nivel de la de Euler. Algo sorprendente que involucrase constantes de alguna manera fundamentales, cuya demostración fuese «elegante», y cuyas repercusiones fueran «impactantes» y «profundas».

La elección que traigo para esta entrada es el conocido como Teorema de Cantor. En este blog se ha escrito ya sobre este genial autor —véanse, por ejemplo, Darwin y Wallace, Dedekind y Cantor, Cantor y la locura, Cantor, descubridor de las antinomias de la teoría de conjuntos—, y el propio IMUS celebró en 2016 una jornada —«El año Cantor»— en el que se dio a conocer su vida y su obra. Creo que hay pocas dudas de que estamos hablando de una persona poco común, singularmente creativa y brillante. De un genio. Quien conozca en cierto detalle al hombre y su obra, probablemente no se sorprenderá por la elección. En su versión simplificada, este teorema se puede escribir de la siguiente forma:

$$2^{\aleph_{0}}>\aleph_{0}.$$

Las comparaciones son odiosas pero atrevámonos.

Desde luego, la inecuación es simple, con un único término en cada lado de la misma, y nada más; involucra una de las constantes más sorprendentes e importantes de las matemáticas modernas, como es \(\aleph_{0}\), el primer cardinal transfinito —el infinito hecho número—, y conecta lo finito (\(2\)) con lo infinito (\(\aleph_{0}, 2^{\aleph_{0}}\)). En cambio, este «bellísimo» teorema no es ni de lejos tan conocido como el de Euler. No hay duda de que comprender bien su significado —tanto sus partes, su demostración, lo que implica, y reflexiones más filosóficas, como, por ejemplo, si estamos dispuestos a aceptarlo o no— escapa a muchos. Pero el caso de la fórmula de Euler es similar: por ejemplo, quizá estemos acostumbrados a \(\pi\), pero ha sido de todo menos un número sencillo de comprender, desde su tierna infancia sin una consciencia de sí mismo, allá por la Grecia antigua, hasta alcanzar su madurez en la Alemania del siglo XIX; es decir, más de 2000 años de lucha. Y aún así, sigue habiendo gente que no cree en él (cosas de la infinitud…). Salvando las distancias, algo parecido se podría decir de \(e\) o de \(i\).

Ahora bien, ¿qué hay de la «profundidad» del Teorema de Cantor, de sus «impactantes» consecuencias? ¿Es para tanto? Veamos: \(\aleph_{0}\) es el cardinal de la totalidad de los números naturales, es decir, la cantidad de números naturales que hay. Sin saber lo que la cantidad del primer miembro representa —que en realidad es la cantidad de subconjuntos que podemos considerar dentro de los naturales, sin filtro ni restricciones—, lo que ese resultado nos está diciendo de dicha cantidad es que es mayor que \(\aleph_{0}\), que es de por sí una cantidad infinita. Por ende, la conclusión es que ¡¡hay distintos tamaños de infinito!!

Quien tenga formación en estos temas, sin haber estudiado necesariamente la obra de Cantor, no se sorprenderá. Quien no, ahora mismo estará en shock. El tema del infinito ha sido también un problema desde el principio, tan atractivo como difícil. Haber sido capaz de darle un tratamiento numérico, y de demostrar que no es una idea única, digamos, sino que esconde múltiples caras, con tamaños distintos, debe considerarse como una revolución en todos los ámbitos. Cantor discutió estos temas con matemáticos, filósofos y teólogos, y es que se estaba metiendo en terreno de todos. En ese sentido, el teorema de Cantor está, como mínimo, al mismo nivel que el de Euler.

Antes de analizar su demostración, deberíamos hacer algunos matices. Cantor ya había demostrado en 1873, en una carta a Dedekind, que la cardinalidad del intervalo \((0, 1)\), que es la misma que la de \(\mathbb{R}\), es mayor que la de \(\mathbb{N}\) (uso un lenguaje moderno por comodidad), demostración que aparece publicada en 1874 en Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales; esto ya demostraría que hay tamaños de infinito distintos. Por otro lado, en 1891 da una demostración simplificada de este hecho en su artículo Sobre una cuestión elemental de teoría de variedades, que es donde aparece su famoso procedimiento diagonal (en realidad el primero en usarlo fue Du Bois-Reymond). Esta es la demostración que vamos a elegir.

Cantor procede por reducción al absurdo. Considerando los números reales del intervalo \((0, 1)\) expresados en sistema binario, y suponiendo que se pueden numerar, podríamos tenerlos dispuestos de la siguiente forma (en su notación):

$$
\begin{eqnarray*}
E_{1} &=& (a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{1,\nu}, \ldots)\\
E_{2} &=& (a_{2,1}, a_{2,2}, \ldots, a_{2,\nu}, \ldots)\\
&\cdots &\\
E_{\mu} &=& (a_{\mu,1}, a_{\mu,2}, \ldots, a_{\mu,\nu}, \ldots)\\
&\cdots &
\end{eqnarray*}
$$

donde está identificando cada uno de ellos con un número decimal; por ejemplo \(E_{1} = (a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{1,\nu}, \ldots) \equiv 0.a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{1,\nu}, \ldots\)

Todas y cada una de las entradas de cada uno de esos números toman únicamente dos posibles valores (\(m\) o \(n\), en notación de Cantor, pero piénsese si se quiere en 0 y 1). Ahora si se considera \(E_{0}=(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots)\), en el que \(b_{1}\neq a_{1,1}, b_{2}\neq a_{2,2}, b_{3}\neq a_{3,3}\), etc, es decir, si recorremos la diagonal con cuidado, obtenemos un número real que, por un lado, está en el intervalo \((0,1)\), pero que, por otro lado, no está en esa lista, dado que cada una de sus cifras difiere de la de al menos uno de todos los que sí están. Pero en esa lista se supone que están todos, lo cual es una contradicción.

Ahora, para darle a este teorema la forma que adopta en la inecuación presentada, recurramos a su trabajo de 1895, Contribuciones a la fundamentación de la teoría de los conjuntos transfinitos. En la sección 4, La potenciación de potencias, introduce —en base a lo que él denomina “recubrimiento del conjunto \(N\) con elementos del conjunto \(M\)”— la definición de la potencia \(a^{b}\) en la que cada uno de dichos valores sería la cardinalidad de un conjunto —\(a\) la de \(M\), \(b\) la de \(N\)—, generalizando lo que ocurriría en el caso finito. Según dice Cantor, es fácil convencerse de que, siguiendo esa notación, el cardinal del continuo (es decir, el de \((0,1)\), que es el mismo que el de \(\mathbb{R}\)) puede representarse en la forma \(2^{\aleph_{0}}\) (de hecho, esto es bastante obvio pensando simplemente en la representación decimal de los números en base 2). Los pasos no son inmediatos, pero todos estos ingredientes juntos nos llevan finalmente a \(2^{\aleph_{0}}>\aleph_{0}\).

Originalmente, Cantor no planteó la cuestión de esta forma, ni hablaba de las partes de un conjunto (lo que antes describimos como la totalidad de los subconjuntos que podemos hacer con los números naturales, como \(\{1,10\}\) o \(\{25, 2, 46\}\)), sino que el planteamiento se hacía utilizando la terminología de las funciones.

Luego de demostrar el teorema que hemos presentado, Cantor nos comenta lo siguiente: «Esta demostración resulta digna de atención no solo por su gran sencillez, sino también particularmente por la razón de que el principio que en ella se sigue se puede extender sin más a la proposición más general de que las potencias de conjuntos bien definidos no tienen un máximo, o lo que es lo mismo, que a cualquier conjunto dado \(L\) se le puede adjuntar otro \(M\) que es de potencia superior a \(L\).»

Por lo tanto, a las características que ya hemos señalado del teorema, podemos añadirle otra muy notable que es la de su capacidad de generalización y aplicación (algo que también pasa con la de Euler, que permite demostrar la trascendencia de \(\pi\) dado que \(e^{x}\) no puede ser racional si \(x\) es un complejo algebraico no nulo —tal como demostró Lindemann en 1882—, y que \(e^{i\pi}= -1\), el cual es un número racional).

Este teorema, con todas sus partes, está en mi particular edición de “El Libro”. Algunos compartirán mi elección, muchos otros no. Y es que sobre gustos no hay nada escrito, o quizá sí.

Referencias

Bermúdez, C. G., Georg Cantor. Sistemas de números y conjuntos, Universidad de A Coruña (2009).

Ferreirós, J. Georg Cantor. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta, Barcelona: Crítica (2006).