Solución: Sumas de año nuevo, 2

Publicamos la solución al divertimento Sumas de año nuevo, 2. Gracias a Floro Damián Aranda Ballesteros, Fernando Carreño Navas, Pablo Hernández Serrano, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín Agüera y Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco por las soluciones que nos han hecho llegar.

Divertimento:

Consideremos el número

$$n=2022^{2023}.$$

Se pregunta cuál es el valor de la suma

$$\sum_{i=2}^{n+1} \frac{(-1)^i (n+1)!}{i(i-2)!(n+1-i)!}$$

para ese valor de \(n\).

Solución:

De la fórmula del binomio de Newton sigue que

$$ \sum_{i=0}^n(-1)^i \binom{n}{i} = (1-1)^n=0 $$

Por tanto, la expresión propuesta puede transformarse así:

$$\begin{align*}\sum_{i=2}^{n+1}\frac{(-1)^i(n+1)!}{i(i-2)!(n+1-i)!}&=\sum_{i=2}^{n+1}(-1)^i(i-1)\binom{n+1}{i} \\ & = \sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i i \binom{n+1}{i} – \sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i \binom{n+1}{i} \\ & = \sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i i \binom{n+1}{i} + \binom{n+1}{0}-\binom{n+1}{1}\end{align*}$$

Por otra parte,

$$ i \binom{n+1}{i} = i \frac{(n+1)!}{i! (n+1-i)!} = (n+1) \frac{n!}{(i-1)!(n-1+1)!} = (n+1)\binom{n}{i-1},$$

de modo que la expresión propuesta es

$$(n+1)\sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i  \binom{n}{i-1} + \binom{n+1}{0}-\binom{n+1}{1}.$$

Pero

$$ \sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i \binom{n}{i-1}= -\sum_{i=1}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}=\binom{n}{0}, $$

de donde

$$\sum_{i=2}^{n+1} \frac{(-1)^i (n+1)!}{i(i-2)!(n+1-i)!} = (n+1) \cdot 1 + 1 -(n+1)=1.$$