Publicamos la solución al divertimento de las variaciones sobre un tablero de ajedrez. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Fernando Carreño y Marcos Jiménez y Manuel Zambrana por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Después de una partida de ajedrez, Ana y Bernabé se entretienen ideando otros juegos a los que jugar. Esta vez se les ocurre el siguiente: ambos deben colocar por turnos, alternativamente, sus piezas (podemos suponer que tienen muchas) en los escaques, siempre y cuando no estén ya ocupados o sean adyacentes a alguno ya ocupado. Quien coloque la última pieza gana.
Después de algunas rondas empiezan a sospechar que existe una estrategia ganadora, y deciden utilizar tableros (cuadrados) mayores, pero llegan a la misma conclusión. ¿Qué estrategia o estrategias hay? ¿Para quién? ¿Dependen del tamaño del tablero?
Nota: Se entiende que dos casillas del tablero son adyacentes cuando comparten una arista, no solo un vértice.
Solución:
Hay dos estrategias, en función de si el tablero es de lado par o impar.
En el primer caso, Bernabé puede ganar siempre si coloca su pieza en el escaque simétrico respecto del centro a aquél que ha ocupado Ana en el turno anterior. Como el lado es par, no existe una casilla central, así que siempre va a existir ese escaque simétrico a otro del que hablamos, y por tanto Bernabé nunca puede perder. Como hay una cantidad finita de movimientos posibles, debe ser Ana entonces quien pierda.
En cambio, si el lado es impar, es Ana quien puede ganar siempre: le basta con empezar en la casilla central, que ahora sí existe, y repetir la estrategia anterior, colocando siempre en el escaque simétrico al que ha ocupado Bernabé en el turno anterior. Por la misma razón que antes, ella nunca podrá perder y será Bernabé quien deba perder entonces.
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