Solución: Desigualdades con pi

Publicamos la solución al divertimento de las desigualdades con pi. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Fernando Carreño, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla y David Ramos, Julio Ojeda y Pablo Puerto, Javier Ribelles y Carmen Zuleta y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento

Consideremos un triángulo cuyos lados tienen longitudes \(a,b,c\) y sus ángulos opuestos tienen amplitudes \(A,B,C\), expresadas en radianes. Demostrar que
$$\frac{\pi}{3} \leq \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \leq \frac{\pi}{2}.$$
¿Cuándo se alcanzan las igualdades?

Solución

Si \(a \geq b \geq c\) también se tiene la misma relación para los ángulos, \(A \geq B \geq C\). Entonces,

$$(a-b)(A-B) + (c-a)(C-A)+ (b-c)(B-C) \geq 0, \qquad (*)$$

pues cada sumando es positivo. Desarrollando esta expresión se obtiene que

$$2 (aA + bB + cC) \geq (b + c) A + (c + a) B + (a + b) C,$$

y sumando \(aA + bB + cC\) a ambos lados,

$$3 (aA + bB + cC) \geq (a + b + c) (A + B + C).$$

Como \(A+B+C=\pi\), se obtiene la desigualdad izquierda. Por el mismo razonamiento, esta se alcanza si la desigualdad \((*)\) es una igualdad. Dado que el miembro de la izquierda es una suma de productos de números no negativos, esto ocurre si y solo si los tres ángulos son iguales o los tres lados son iguales, es decir, si y solo si el triángulo es equilátero.

Por otra parte, en cualquier triángulo se cumple que la suma de los tres lados es mayor que el doble de cualquiera de ellos, es decir, \(a+b+c>\max\{2a,2b,2c\}\). De aquí,

$$A(a+b+c) > 2aA, \quad B(a+b+c) > 2bB, \quad C(a+b+c) > 2cC.$$

Por tanto,

$$(A+B+C)(a+b+c) > 2 (aA+bB+cC),$$

y nuevamente, como \(A+B+C=\pi\), se deduce la desigualdad derecha. En este caso la desigualdad no se puede alcanzar propiamente dicha, pues debería ocurrir que o bien un ángulo fuera nulo o bien un lado fuera igual a la suma de los otros dos. Ambas condiciones son equivalentes y significan que el triángulo es realmente un segmento.