Solución: Una versión de Pitágoras

Publicamos la solución al divertimento de la versión de Pitágoras. Muchas gracias a Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Julio Ojeda y Pablo Puerto, Javier Ribelles y Carmen Zuleta y Rubén Ríos por las soluciones que nos han enviado. Se han recibido tres soluciones parciales.

Divertimento

En algunos museos científicos se encuentra una ilustración del Teorema de Pitágoras comprobando que la cantidad de pintura necesaria para pintar el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la suma de las cantidades de pintura necesarias para pintar los dos cuadrados construidos sobre los catetos.

Sin embargo, nos preguntamos si el agua que cabe en un cubo construido sobre la hipotenusa es o no la suma del agua que cabe en los cubos construidos sobre los catetos; nos preguntamos en definitiva por los triángulos de lados \(a\geq b\geq c\) en los que se verifica la igualdad

$$a^3=b^3+c^3.$$

1. Justifica que ningún triángulo rectángulo verifica la anterior igualdad e indica si el primer miembro es mayor o menor que el segundo.
2. Indica el rango de valores que tiene el ángulo \(A\) (opuesto al lado mayor \(a\)) para los que existe un triángulo que cumpla la igualdad anterior.

Solución

La primera pregunta es sencilla de responder: como en un triángulo rectángulo se tiene que \(a^2=b^2+c^2\) y estamos suponiendo que \(a\geq b\geq c\), entonces \(a^3=a(b^2+c^2)\geq b^3+c^3\). Además, como el triángulo es rectángulo, necesariamente \(a>b\), así que la desigualdad anterior también es estricta.

En la segunda pregunta es en donde algunos de nuestros estimados lectores habituales no han sido capaces de dar con la tecla.

Como la pregunta se cumple en un triángulo si y solo si se cumple en otro equivalente a aquel, supongamos por simplicidad que \(c=1\) y usemos el teorema del coseno, que nos dice que \(a^2=b^2+1-2b\cos A\). Despejando \(a\) y sustituyendo en la igualdad \(a^3=b^3+1\), llegamos a que

$$\cos A=\frac{b^2+1-(b^3+1)^{2/3}}{2b}=:f(b).$$

Es un cálculo sencillo ver que el numerador es siempre positivo, por lo que \(A\) será un ángulo agudo. Vamos a analizar el comportamiento de la función \(f\) para \(b\in[1,\infty)\) para hallar el intervalo de ángulos buscado. En primer lugar,

$$f'(b)=\frac{(b^2-1)(b^3+1)^{1/3}-(b^3-1)}{2b^2(b^3+1)^{1/3}}.$$

De igual modo, se puede comprobar que el numerador es siempre negativo, así que \(f\) es monótona decreciente; el mínimo valor posible de \(A\) vendrá dado por el arco coseno del máximo de \(f\), que no es más que \(f(1)=1-2^{-1/3}\). En este caso tendríamos un triángulo isósceles de ángulo mayor \(A\simeq 78,\!09º\). En general, los valores posibles de \(A\) forman el intervalo \([\arccos f(1),\pi/2)\).

En efecto, cualquier ángulo de ese intervalo determina un triángulo, que se construiría tomando el segmento \(AB\) de longitud 1, trazando en el extremo \(A\) el ángulo dado, y sobre el dado que lo delimita, el segmento \(AC\) de longitud el único valor de \(b\) tal que \(f(b)=A\) (nótese que \(f\) es inyectiva es su dominio por ser monótona).