Este divertimento forma parte del concurso de 2023. Puedes encontrar las bases en este enlace.
Delantal
Los habituales de esta sección del blog conocen nuestra afición desmedida por variar o versionar temas conocidos (lamentablemente, carecemos de la creatividad de los autores verdaderos y nos limitamos a ser arreglistas o intérpretes, qué le vamos a hacer). Esta quincena traemos un clásico entre los clásicos: el teorema de Pitágoras, solo que cambiando el exponente 2 por un ¿inocente? 3. Que no existen soluciones racionales a esa ecuación ya lo escribió Euler para la posteridad, pero como comentamos hace un mes, basta cambiar un épsilon las condiciones iniciales (en este caso, las características del triángulo) para que el problema recupere su aquel que lo hace interesante.
Será que las matemáticas, como la vida misma, son no lineales y en ellas ocurren fenómenos caóticos, al menos en lo que a la formulación de problemas se refiere. Esperamos, sin embargo, que nuestros lectores hallen el camino a la solución de modo lo más determinista y directo posible (aliviando nuestra tarea de corrección como efecto colateral, por qué no decirlo).
(La imagen de la entrada pertenece a un texto de George Hart en la página del Museo Nacional de Matemáticas – MoMath.)
Divertimento
En algunos museos científicos se encuentra una ilustración del Teorema de Pitágoras comprobando que la cantidad de pintura necesaria para pintar el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la suma de las cantidades de pintura necesarias para pintar los dos cuadrados construidos sobre los catetos.
Sin embargo, nos preguntamos si el agua que cabe en un cubo construido sobre la hipotenusa es o no la suma del agua que cabe en los cubos construidos sobre los catetos; nos preguntamos en definitiva por los triángulos de lados \(a\geq b\geq c\) en los que se verifica la igualdad
$$a^3=b^3+c^3.$$
- Justifica que ningún triángulo rectángulo verifica la anterior igualdad e indica si el primer miembro es mayor o menor que el segundo.
- Indica el rango de valores que tiene el ángulo \(A\) (opuesto al lado mayor \(a\)) para los que existe un triángulo que cumpla la igualdad anterior.
Solución
Envía tus soluciones, hasta el viernes 21 de abril, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el lunes 24 de abril. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.
Desde que yo estaba en noveno grado muy niño sabía que era imposible a^3+b^3-c3 es decir en triangulo tectangulos construir cubos que los cumplan con la igualdad,en algunos casos talvez creo aproximado pero no en general.