Publicamos la solución al divertimento de cinco y seis. Muchas gracias a Antonio Medinilla y David Ramos y Julio Ojeda y Pablo Puerto por las soluciones que nos han enviado. Se ha recibido una solución parcial.
Divertimento
¿Es posible que el producto de seis enteros positivos consecutivos sea una potencia quinta?
Solución
Vamos a suponer que sí. De seis números consecutivos, al menos uno debe ser coprimo con los demás: de los tres impares, solo uno es múltiplo de tres y a lo sumo uno de ellos es múltiplo de cualquier otro primo mayor. Por tanto, si el producto de seis enteros de la forma \(x-2\), \(x-1\), \(x\), \(x+1\), \(x+2\) y \(x+3\), con \(x\geq 3\), es una potencia quinta, el que sea coprimo con los demás debe ser una potencia quinta por sí mismo. Sea \(P(x)\) el producto de los otros números. Entonces
$$(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\leq P(x)\leq (x-1)x(x+1)(x+2)(x+3).$$
Por otro lado,
$$(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)>(x-1)^5$$
para todo \(x\geq3\); basta ver que \((x-2)(x+2)>(x-1)^2\). Aún más fácil es comprobar que
$$(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)=x^5+5x^4+5x^3-5x^2-6x$$
es menor que
$$x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1=(x+1)^5;$$
basta con observar los coeficientes de cada potencia de \(x\).
En conclusión, necesariamente \(P(x)=x^5\). En cambio, o bien \(x-1\) o bien \(x+1\) debe dividir a \(P(x)\), pero ambos son coprimos con \(x\), con lo que llegamos a una contradicción, deduciendo que la respuesta a la pregunta es que no es posible.
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