Publicamos la solución al divertimento de los amigos del curso. Muchas gracias a Don Diedro y Don Pablo, Antonio Medinilla y David Ramos, Julio Ojeda y Pablo Puerto y Javier Ribelles y Carmen Zuleta por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento
En un curso cualquiera de un grado cualquiera de una facultad cualquiera, hay tres grupos de \(n>0\) estudiantes y cada uno de ellos tiene al menos \(n+1\) amigos en los otros dos grupos. Probar que existen tres estudiantes, cada uno de un grupo distinto, que son amigos entre ellos.
Solución
Solución adaptada de la enviada por Julio Ojeda y Pablo Puerto.
Sea \(a\) el, o la estudiante, que podemos suponer del grupo \(A\), que menos amigos tenga en un grupo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que sean \(k>0\) amigos y en el grupo \(B\), y llamémoslos \(b_1, \ldots,b_k\). Por tanto, \(a\) tendrá al menos \(n+1-k\) amigos en el grupo \(C\). Ahora bien, sabemos que \(b_1\) tiene al menos \(k\) amigos en el grupo \(C\), así que por el principio del palomar necesariamente uno de ellos es un amigo en común de \(a\) y \(b_1\), completando el triángulo buscado.
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