Solución: Juego de cartas

Publicamos la solución al divertimento Juego de Cartas. En esta ocasión, Rubén Ríos Mallqui, Don Diedro y Don Pablo, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz han enviado respuestas acertadas. Gracias a todos por vuestras respuestas.

Divertimento:

Tres amigos A, B y C juegan un juego de cartas en el que estas deciden no solo quién gana sino también cuánto apuesta cada jugador. Al comenzar el juego, B dispone del doble de dinero que C y A el triple. El juego consiste en que se reparten dos cartas a cada jugador y cada uno tiene que apostar una cantidad igual al producto de los números de las cartas que le han tocado (que incluyen del 1 al 10; además, la sota es el 11, el caballo el 12 y el rey el 13); luego, cada jugador coge una carta más y el que tenga la menor, se lleva la apuesta.

Así están jugando hasta llegar un momento en el que A tiene que apostar la mitad de lo que tiene, B tiene que apostar la tercera parte de lo suyo y C tiene que apostar la sexta parte de su dinero. Al coger la tercera carta, resulta que los tres sacan la misma, por lo que deciden repartirse la apuesta en partes iguales. Entonces observan que tienen la misma cantidad de dinero que tenían al principio. ¿Con cuánto dinero comenzaron a jugar?

Solución:

Solución enviada por Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz.

Sean \(3w, 2w, w\) la cantidad de dinero inicial que tienen A, B y C, respectivamente. Sean \(x,y,z\) las cantidades de dinero que apuestan en la ́ultima ronda A, B y C, respectivamente. Entonces se cumplen los sistemas de ecuaciones:

$$\begin{cases} x+({x+y+z})/{3}=3w \\ 2y+({x+y+z})/{3}=2w \\5z+({x+y+z})/{3}=w\end{cases}$$

Este sistema se puede resolver en función de \(w\), resultando

$$x=99 \cdot \frac{w}{47}, \qquad y=26\cdot \frac{w}{47}, \qquad z=\frac{w}{47}.$$

Como las apuestas \((x,y,z)\) son números enteros entre 1 y \(13^2=169\), tiene que ser \(w=47\). Es decir, inicialmente A tenía 141, B tenía 94 y C tenía 47. En la ́ultima apuesta, a A le tocaron un 9 y un 11, teniendo que apostar 99; a B le tocaron un 2 y un 13, teniendo que apostar 26; y a C le tocaron dos ases (unos), por lo que tuvo que apostar 1.