El último teorema de Riemann

Hablamos hoy sobre la hipótesis de Riemann. Mi objetivo es explicar cómo se generó y porqué es tan difícil. Probablemente necesitaré al menos otra entrada para explicar esto adecuadamente. Dejaré a un lado el porqué es importante la hipótesis de Riemann.

Algunos conceptos previos

La función zeta se define como la suma de la serie $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}.$$ En 1859 Riemann publicó un artículo de 8 páginas estudiando sus propiedades fundamentales y relacionándola con la teoría de los números primos. Algunos de los resultados de este trabajo son

• Aunque la serie no converge para \(\sigma=\mathop{\rm Re}(s)< 1\), la función \(\zeta(s)\) admite una única extensión como función meromorfa a todo el plano. Con un único polo en \(s=1\).
• Si definimos \(\Lambda(s):=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)\), se verifica la siguiente ecuación funcional \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\).
• Para \(t\in\mathbb C\), Riemann define $$\Xi(t):=-\tfrac12(\tfrac14+t^2)\Lambda(\tfrac12+it).$$ Es una función entera con ceros en \(|\mathop{\rm Im}(t)|\le1/2\)
• El número de ceros \(\alpha\) de \(\Xi(t)\) con \(0<\mathop{\rm Re}(\alpha)\le T\) es $$(1)\qquad N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T).$$
• Justo después de escribir la ecuación (1) Riemann añade: «De hecho, uno encuentra alrededor de este número de raíces reales entre estos límites, y es muy probable, que todas las raíces sean reales. Sin duda sería deseable tener una prueba rigurosa de esto, pero he dejado a un lado la investigación de tal prueba después de algunos intentos infructuosos ya que no es necesario para el objetivo inmediato de mi estudio.»
• Su fórmula para \(\pi(x)\) el número de primos \(\le x\) es
  \begin{align*}
  \pi(x)&=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}F(x^{1/m}),\quad\text{donde}\\
  F(x)&=\mathop{\rm Li}(x)-\sum_{\Re\alpha>0}\bigl(\mathop{\rm Li}(x^{\frac12+i\alpha})+\mathop{\rm Li}(x^{\frac12-i\alpha})\bigr)+\int_0^x\frac{1}{x^2-1}\frac{dx}{x\log x}+\log\Xi(0),
  \end{align*}
  \(\mu(n)\) es la función de Möbius, \(\mathop{\rm Li}(x)\) es el logaritmo integral y \(\alpha\) recorre los ceros de \(\Xi(t)\), sean reales o complejos.

La ecuación funcional implica que si definimos para \(t\) real $$\vartheta(t)=\mathop{\rm  Im} \log\Gamma(\tfrac14+i\tfrac{t}{2})-\tfrac{t}{2}\log t,$$ entonces para \(t\in\mathbb R\) se tiene $$\zeta(\tfrac12+it)=e^{-i\vartheta(t)}Z(t),$$ donde \(\vartheta(t)\) y \(Z(t)\) son funciones analíticas reales de variable real.

Al ser \(Z(t)\) función real y continua un cambio de signo implica la existencia de un cero \(\gamma\) de \(Z(t)\). Que se traduce en un cero \(\frac12+i\gamma\) de la función \(\zeta(s)\), justo en la recta crítica.

Riemann y su carta a Weierstrass

Riemann (1826–1866) era una persona tímida, retraída, con pocas habilidades sociales, sus relaciones personales casi se reducían a las familiares, hay cartas a sus padres, sus cuatro hermanas y a su hermano que lo atestiguan. A la prematura muerte de su hermano tuvo que hacerse cargo de sus hermanas. Su sueldo no daba para tanto y alguna de ellas murió. A los 36 años de edad se casó con Elisa Koch una amiga de sus hermanas. Tres años mas tarde murió de tuberculosis.

El 11 de agosto de 1859 Riemann fue nombrado miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Berlin. Con esta ocasión su amigo Dedekind lo acompañó a Berlin en septiembre donde fue recibido por Kummer, Kronecker y Weierstrass. Kronecker le había insistido que comunicara a la academia la fórmula explícita de \(\pi(x)\) de la que Riemann les había hablado en su visita. Es por esto que Riemann dice no es necesario para el objetivo inmediato de mi estudio, demostrar que todos los ceros de \(\Xi(t)\) son reales.

La revista de la Academia publicaba pequeñas reseñas de las comunicaciones a la Academia. Weierstrass actuó de editor en este caso. Se conserva el borrador (26 de octubre de 1859) de una carta de Riemann a Weierstrass. En ella Riemann dice que aún no ha terminado su investigación y que sólo la insistencia de Kronecker le hace enviar prematuramente la nota. Observa que ha intentado ser breve, aunque de todos modos quizás sea largo para la revista de la Academia. Le pide que le diga si se publicará y qué parte aparecerá en las Actas. Que en caso contrario lo adaptaría para el Journal de Crelle como una memoria amplia.

Riemann le comenta a Weierstrass que debido a esta falta de espacio no ha podido incluir pruebas completas, pero que Weierstrass no tendrá dificultad en rellenar esas lagunas, excepto por dos proposiciones que solo enuncia en el trabajo y que comenta especifícamente:

Una de esas afirmaciones es: «Entre \(0\) y \(T\) hay aproximadamente \(\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}\) raíces reales de la ecuación \(\Xi(t)=0\), lo que sigue de un nuevo desarrollo de la función \(\Xi(t)\), que todavía no he simplificado suficientemente.»

El último teorema de Riemann

Sea \(N_0(T)\) el número de ceros reales de \(\Xi(t)\) con \(0<\alpha\le T\). Hardy probó en 1914 que \(\lim_{T\to\infty} N_0(T)=\infty\); Hardy y Littlewood en 1921 probaron que \(N_0(T)\ge CT\); Selberg en 1942 \(N_0(T)>CT\log T\). Levinson (1974), con ideas nuevas consiguió probar \(N_0(T)\ge 0.3420 N(T)\), donde \(N(T)\) es el total de los ceros. Refinamientos posteriores (Conrey 1989 y otros) han conseguido aumentar la constante hasta \(0.4128\). Pero Riemann le dice a Weierstrass que tiene una demostración de que la constante es tan próxima a 1 como se quiera.

Último teorema de Riemann. El número de ceros reales de \(\Xi(t)\) entre \(0\) y \(T\) es $$(2)\qquad N_0(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+o(T).$$

Bueno, he precisado un poco su frase al poner que la diferencia tiende a cero con \(T\), pero creo que es la interpretación mas natural después de decir que es aproximadamente esa cantidad sin eliminar el término en \(\frac{T}{2\pi}\).

Hay elementos para dudar de que Riemann hubiera probado lo que he llamado su último teorema. En primer lugar la afirmación está solo en un borrador de la carta a Weierstrass. La carta tiene fecha del 26 de octubre, y en ella Riemann afirma que no ha enviado todavía el trabajo a Weierstrass, sin embargo el artículo de Riemann se publica el 29 de octubre?! Por último, algunos argumentan que la frase de Riemann en el artículo publicado «uno encuentra alrededor de este número de raíces reales entre estos límites» podría referirse a que Riemann calculó a mano los 3 o 4 primeros ceros de \(\Xi(t)\). [Esta interpretación me resulta difícil de imaginar. Riemann tan preciso en sus palabras diciendo que 3 o 4 ceros le inducen a pensar que hay aproximadamente \(\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}\) ceros reales entre \([0,T]\)].

Como matemáticos sabemos cuántas veces creemos tener resuelto un problema, para constatar a los pocos días, cuando tratamos de escribir la prueba, que realmente no teníamos nada. Reconozco que algunas veces, postpongo escribir la demostración, para tener unos días de euforia. Quizás Riemann estaba eufórico cuando escribió su carta a Weierstrass.

En todo caso, los matemáticos a la muerte de Riemann buscaron en sus papeles …

Los papeles póstumos de Riemann

Riemann fue un hipocondríaco, quizás con razón, murió de tuberculosis antes de cumplir los 40 años. Le costaba escribir incluso en su lengua materna, sus escritos son muy precisos pero de difícil lectura. Dedekind a su muerte publicó varios de sus trabajos, que él no había publicado:

1. Tratado sobre las series trigonométricas.
2. Fundamentos de la geometría.
3. Contribuciones a la electrodinámica.

Cualquiera de ellos sería suficiente para recordar a Riemann como un gran matemático.

Al morir dejó muchos papeles. En Göttingen se conservan los que H. Weber y R. Dedekind tuvieron a su disposición para componer sus obras completas.

Manuscrito de Riemann conteniendo la fórmula de Riemann-Siegel

Richard Dedekind cinco años menor que él y su amigo durante toda su vida le animó en muchas ocasiones. A su muerte Dedekind escribió una pequeña biografía que se incluyo en sus obras completas. Durante este tiempo Dedekind y la mujer de Riemann, Elisa, mantuvieron una correspondencia en que ella le instaba a ocultar algunos de los problemas personales de Riemann. De esa correspondencia nos queda alguna información relevante.

• Riemann incluía información personal en sus escritos matemáticos.
• Elisa se opuso siempre a que esos papeles con información personal salieran de manos privadas.
• Entre esa documentación había una pequeña libreta negra que Riemann había llevado a Paris en su estancia en la primavera de 1860.

Notemos que la primavera de 1860 es muy próxima al momento en que él publica su artículo. Posiblemente en ese momento estaba ocupado en escribir su último teorema, o sobre la hipótesis de Riemann. Pero es muy posible que Elisa impidiera que nadie la viera. Se le ha perdido el rastro.

Yo he analizado atentamente los papeles que se encuentran en Göttingen relativos a la teoría de números. Hay mucho que decir sobre ellos. A mi entender se trata de los papeles que uno usa cuando está pensando, para escribir alguna ecuación suelta, que quizás otro día continúa con otro tema, posiblemente escribiendo en otra dirección y que finalmente suelen terminar en la papelera. Por otro lado su contenido revela que Riemann conocía mucho sobre la función zeta y la distribución de los primos. Mucho más que lo que aparece en su artículo de 8 páginas.

• (a) Contiene el desarrollo de Riemann-Siegel (1932) que después analizaremos.
• (b) La fórmula explícita de \(\psi(x)\) atribuida a von Mangoldt (1895) $$\psi(x)=x-\sum_\alpha \frac{x^{\frac12+i\alpha}}{\frac12+i\alpha}-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}-\frac12\log\Bigl(1-\frac{1}{x^2}\Bigr).$$
• (c) El desarrollo de Mittag-Leffler en el punto \(s=1\) atribuido a Stieltjes (1885) $$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n,\qquad \gamma_n=\lim_{K\to\infty}\Bigl(\sum_{k=1}^K\frac{\log^nk}{k}-\frac{\log^{n+1}K}{n+1}\Bigr).$$
• (d) Cálculo explicito de los primeros ceros de \(\Xi(t)\), relacionándolos con los ceros de \(\cos(\vartheta(t))\), es decir, los puntos de Gram (1903).

Y alguna otra cosa más que dejo sin mencionar. Respecto del punto (b), hoy todos los libros usan esa fórmula explícita en lugar de la de \(\pi(x)\). Pero Kronecker le pidió expresamente que expusiera su fórmula para \(\pi(x)\).

Es claro que Riemann podía escribir toda una memoria sobre el tema, como le decía a Weierstrass. ¡Cuánto mejor no hubiera sido que publicara esa memoria en el Journal de Crelle, que no esas 8 páginas en las actas de la Academia de Berlín!

Fórmula de Riemann-Siegel

Carl Ludwig Siegel consiguió entender los borradores de Riemann en 1932. Lo que encontró fue una fórmula para calcular \(Z(t)\) y por consiguiente \(\zeta(\frac12+it)=e^{-i\vartheta(t)}Z(t)\). $$ (3)\quad
Z(t)=2\sum_{n=1}^N\frac{\cos(\vartheta(t)-t\log n)}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{a}}\sum_{n=0}^K\frac{C_n(z)}{a^n}+R_K(t), $$ donde \(a=(\frac{t}{2\pi})^{1/2}\), \(N=\lfloor a\rfloor\), \(z=2-2(a-N)\), \(K\) es arbitrario pero el término de error \(R_K(t)\) depende de \(K\). Esta expresión permite calcular \(Z(t)\) con gran precisión si \(t\) es grande.

Riemann usó para calcular los primeros zeros, la fórmula con \(K=0\) y \(N=0\) $$Z(t)=2\cos(\vartheta(t))-\frac{1}{a}\frac{\cos\frac{\pi}{2}(z^2+\frac34)}{\cos\pi z}+R_0(t).$$ La función de Riemann-Siegel \(Z(t)\) es especialmente interesante

\(Z(t)\) es una función par con las siguientes características:

• El número de términos \(N\) en la parte principal de \(Z(t)\) en (3) crece y tiende a infinito con \(t\).
• \(Z(t)\) no está acotada.
• \(Z(t)\) no se repite.
• Sus oscilaciones son de frecuencia creciente con \(t\).

Riemann sustentaba su hipótesis en tres cosas principalmente:

• (a) Probablemente conocía que la hipótesis implicaba el sueño de Gauss $$\pi(x)=\int_2^x\frac{dt}{\log t}+O(\sqrt{x}\log x).$$
• (b) Los primeros ceros de \(\zeta(\frac12+it)\) estaban en la recta crítica.
• (c) El número de ceros reales de \(\Xi(t)\) en \([0,T]\), es decir, \(N_0(T)\) es aproximadamente el mismo que el número \(N(T)\) de ceros con \(0\le\mathop{\rm Re}\alpha\le T\).

Hoy día sabemos que la implicación en (a) es válida. También sabemos que los \(12\,363\,153\,437\,138\) primeros ceros están en la recta crítica y no casi todos pero si que muchos ceros (\(N_0(T)\ge0.4128 N(T)\)) están en la recta crítica.

Para saber más

Hay una excelente biografía de Riemann:

Detlef Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866. Turning points in the conception of Mathatmatics, (Translated by Abe Shenitzer), Birkhäuser, 2008.

y una historia sobre la hipótesis de Riemann para un público más general, que es muy recomendable:

Marcus du Sautoy, La música de los números primos, Traducción de J. Miralles, El Acantilado, 2013.

Con contenido matemático serio, pero con una mirada histórica, realmente recomendable es el libro de Edwards.

H. M. Edwards, Riemann’s zeta function, Dover Publ. Mineola, New York 1974, reimpresión de 2001.

Lo que sabemos de la historia de los papeles que Riemann dejó a su muerte se cuenta con todo detalle en

Erwin Neuenschwander, A brief report on a number of recently discovered sets of notes on Riemann’s lectures and on the transmission of the Riemann Nachlass, Historia Mathematica 15 (1988) 101-113.

El artículo de Siegel donde interpreta los papeles de Riemann ha sido traducido al inglés recientemente y se encuentra accesible en arXiv:

Carl Ludwig Siegel, Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik 2 (1932) 45-89. Traducción al inglés arXiv:1810.05198.

Gauss creía que el número \(\pi(x)\) de primos menores o iguales a \(x\) era aproximadamente $$\pi(x)\approx \int_2^x\frac{dt}{\log t}.$$ Pasó toda su vida calculando \(\pi(x+1000)-\pi(x)\) y comparando con el valor de la integral \(\int_x^{x+1000} dt/\log t\). Esto lo cuenta en una carta a su amigo Encke. La carta de Gauss esta traducida al inglés en

L. J. Goldstein, A history of the prime number theorem, Amer. Math. Monthly 80 (1973) 599-615.

y los resultados de sus comparaciones están contenidos en sus obras completas.

Carl Friedrich Gauss, Werke Tomo 2, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen 1863. p.~435-447.