Un truco de cartas

Este divertimento forma parte del concurso de divertimentos 2023 del blog del IMUS. Puedes encontrar las bases en este enlace.

Delantal:

Una forma de fomentar los intereses de un niño es dejar a su alcance libros sin darle demasiada importancia al asunto, como el que arroja semillas al aire esperando que alguna agarre. Un buen candidato puede ser Magia Matemática (1988), que formaba parte de una colección de lecturas juveniles (que magia de Internet nos ha permitido recuperar) de la extinta editorial Labor. Del autor, Isidoro Lander, poco sabemos, salvo que publicó alguna otra obra en colecciones similares. Era una época en la que la televisión había contribuido a la popularidad de magos como Juan Tamariz para fascinación de los más pequeños, que llevados por la admiración, podían querer emular al maestro de la magia con cartas. Los que no eran hábiles con las manos pero sí con la cabeza podían recurrir a libros como el que hemos mencionado para intentar sorprender a quien quisiera prestarles atención, haciendo, sin pretenderlo, afición de las matemáticas. Hoy os dejamos un truco que bien podría formar parte de este libro.

Divertimento:

Un truco de magia con cartas relativamente conocido consiste en dar a un participante una baraja de 27 cartas, de la que debe seleccionar una, y sin mostrárnosla, devolverla a la baraja, que se mezcla. Entonces distribuimos las cartas cara arriba en 3 montones, de izquierda a derecha y una cada vez, para que el participante nos señale cuál es el montón que contiene su carta. Dicho montón se coloca entre los otros dos. Esta rutina se repite otras dos veces más: distribuir las cartas cara arriba de izquierda a derecha en tres montones, señalar el montón con la carta seleccionada, y colocarlo entre los otros. En ese momento, la carta que se busca siempre está en la posición número 14.

Proponemos una variación del juego anterior: damos a un participante una baraja con 27 cartas para que seleccione una, y sin enseñárnosla, la devuelva a la baraja, que se mezcla. Se reparten las cartas en 9 montones cara arriba, una cada vez y siempre de izquierda a derecha. El participante señala el montón que contiene su carta. Ese montón se coloca en tercer lugar comenzando desde arriba (la colocación del resto de montones no afecta). Estamos interesados en determinar cuántas veces hay que repetir esta rutina para asegurar que la carta buscada estará en cierta posición, para lo que se propone:

1. Denotemos por \([1:27]\) al conjunto de los números enteros entre \(1\) y \(27\). Determina la expresión de la función \(H:[1:27] \to [1:27]\) que transforma la posición \(x \in [1:27]\) de la carta escogida por el participante en su posición \(H(x) \in [1:27]\) tras separar en nueve montones y colocar el montón al que pertenece la carta en tercer lugar.
2. Determina los puntos fijos de \(H\).
3. Calcula las potencias de \(H\) necesarias hasta determinar las iteraciones que hay que hacer para determinar la posición de la carta pensada, y cuál es dicha posición.

Soluciones:

Envía tus soluciones hasta el viernes 3 de noviembre a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el lunes 6 de noviembre. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.