Solución: Calculadora de cuatro teclas

Publicamos la solución al divertimento de la calculadora de cuatro teclas. Muchas gracias a F. Damián Aranda Ballesteros, Rafael Benzal, Juan Miguel Expósito, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz, Don Pablo y Don Diedro, Rubén Ríos Mallqui y Cristóbal Sánchez Rubio por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento

Tenemos una curiosa calculadora de cuatro teclas, cada una de las cuales puede cambiar de algún modo el número que aparezca en la pantalla: la primera lo reemplaza por \(1\), la segunda lo divide entre \(2\), la tercera le resta \(3\) y la cuarta lo multiplica por \(4\). Al principio la pantalla muestra \(0\), y no admite resultados no naturales.

¿Podríamos obtener \(1118\) operando con los botones? ¿Y \(1119\)?

Solución

Podremos conseguir \(1118\): al encender la calculadora, pulsamos el primer botón y luego el cuarto seis veces, obteniendo \(4096\). Después pulsamos el segundo botón de modo que aparezca \(2048\) en la pantalla. Ahora es cuestión de pulsar la tercera tecla alguna que otra vez, concretamente trescientas diez veces hasta restar \(930\), llegando al resultado deseado.

Este procedimiento es el que han seguido la mayoría de quienes nos han escrito, basándose en la idea que comentamos más adelante. Sin embargo, como nos cuenta F. Damián Aranda, no existe un único camino para cada solución. Por ejemplo, \(2\) se puede obtener pulsando la primera tecla, la cuarta y la segunda, o también la primera, la cuarta dos veces, la segunda después y dos veces la tercera: \(1 \to 4 \to 16\to 8 \to 5 \to 2\).

En ese sentido, Juan Miguel Expósito y Rubén Ríos han dado otras maneras más breves de obtener el resultado, con \(62\) pulsaciones o solo \(19\), respectivamente. Como curiosidad, reproducimos esta última:

$$1 \to 4 \to 2 \to 8 \to 5 \to 20 \to 10 \to 40 \to 37 \to 148 \to 74$$
$$\to 71 \to 284 \to 281 \to 1124 \to 562 \to 559 \to 2236 \to 1118.$$

Por otro lado, no es posible conseguir \(1119\) en la pantalla. En efecto, nótese que ninguna de las teclas devuelve un múltiplo de tres a partir de un número que no lo sea. Dado que ninguna tecla cambia el cero por un valor admisible, para obtener algo distinto debemos pulsar el primer botón, que devolverá un uno, y por lo discutido antes, ningún múltiplo de tres aparecerá, en particular, tampoco \(1119\).

De hecho, todos los demás números naturales se pueden obtener con la calculadora. Combinar las teclas segunda y cuarta nos permite obtener todas las potencias de \(2\). Y como \(2\equiv -1\mod 3\), dichas potencias valdrán, alternativamente, \(1\) y \(-1\) módulo \(3\). En ese caso, dado \(n>1\), si \(n\equiv 1\mod 3\) deberemos obtener la potencia de \(2\) de exponente par inmediatamente mayor que \(n\) (pulsando por tanto solo la cuarta tecla) y pulsar la tercera tecla cuantas veces sea necesario. Si \(n\equiv -1\mod 3\), el procedimiento será el mismo, salvo que el exponente de la potencia de \(2\) deberá ser impar, pudiendo pulsar varias veces la cuarta tecla y una vez después la segunda.