Publicamos la solución al divertimento Potencias de 2 consecutivas. En esta ocasión, han enviado soluciones acertadas F. Damián Aranda Ballesteros, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Juan Miguel Expósito, Rubén Ríos Mallqui y Don Pablo y Don Diedro.
Divertimento:
En este divertimento nos fijamos en la cantidad de cifras decimales de las potencias (de exponente positivo) de dos. Por ejemplo, hay tres de un dígito, otros tres de dos, tres de tres, cuatro de cuatro, tres de cinco, etcétera. ¿Cuál es la máxima cantidad de potencias consecutivas sin que entre ellas haya cuatro con el mismo número de dígitos?
Solución:
Si observamos la lista de potencias de dos, vemos que cierto patrón se repite: la mayoría de potencias se reparten en grupos de tres consecutivas con la misma cantidad de cifras, salvo algunos grupos desperdigados de cuatro potencias seguidas. Vamos a demostrar que siempre sucede así y alguna cosa más.
Denotemos por \(\log\) al logaritmo decimal y por \([k]\) a la parte entera de \(k\). La cantidad de cifras de \(2^n\) es \(1+[ n\log2]\). Por simplicidad, escribamos \(x=\log 2\simeq 0,\!30103\). El número de potencias con \(c\) cifras coincidirá con el número de múltiplos de \(x\) que se encuentren en el intervalo \((c-1,c)\) (como \(x\) es irracional, nunca habrá un múltiplo de \(x\) que sea entero). En esta solución usaremos intensivamente que, dados dos números reales \(a,b>0\),
$$[ a]+[ b]\leq[ a+b]\leq[ a]+[ b]+1.$$
Para responder a nuestra pregunta, primero debemos ver que solo puede haber tres o cuatro potencias con la misma cantidad de cifras. En efecto, si hubiera solo dos que tuvieran cierta cantidad \(c\) de cifras, debería existir una potencia \(2^n\) de \(c-1\) cifras tal que \(2^{n+3}\) tuviera \(c+1\). Es decir, \(c+1=1+[ (n+3)x]\leq1+[ nx]+[3x]+1=c\), pues \(3x<1\). Como la desigualdad es imposible, también lo es la asunción del principio.
Por otro lado, para que haya cinco potencias de \(c\) cifras debe cumplirse que \(4x<1\), cosa que tampoco es cierto. Veámoslo: si la primera de esas cinco, para cierto exponente \(n\), tiene \(c\) cifras, la quinta tendrá \(1+[(n+4)x]\geq1+[ nx]+[4x]\). Como \(4x\geq1\), entonces \(2^{n+4}\) tendrá al menos \(1+[ nx]+1=c+1\) dígitos, que no es lo que queremos.
Por un argumento similar al anterior, tampoco es posible que haya dos grupos de cuatro potencias de \(2\) seguidas, porque \(7x>2\). Con esto en mente, supongamos que tenemos un grupo de cuatro potencias de \(c\) cifras, \(2^n\), \(2^{n+1}\), \(2^{n+2}\) y \(2^{n+3}\). La pregunta del divertimento se puede resolver hallando cuántos grupos de tres potencias con las mismas cifras decimales pueden venir después.
Cada uno de esos grupos será de la forma \(\{2^{n+3k+1}, 2^{n+3k+2}, 2^{n+3k+3}\}\), con \(c+k\) cifras cada uno, siendo \(k\geq1\). Supongamos que \(2^{n+3k+4}\) tiene \(c+k+1\) cifras. En ese caso,
$$c+k=[ (n+3k+4)x]\leq[(n+3)x]+[(3k+1)x]+1=c+[(3k+1)x],$$
por lo que, necesariamente, \([(3k+1)x]\geq k\), o dicho de otro modo, \((3k+1)x>k\).
Comprobando para los primeros valores de \(k\), vemos que a partir de \(k=4\) la desigualdad no es cierta, pues \(13x<4\). Por tanto, la mayor cantidad de potencias consecutivas de dos que podemos encontrar sin que haya entre ellas cuatro con el mismo número de cifras será como mucho \(15\): las tres últimas de un grupo de cuatro, tres grupos de tres y las tres primeras del siguiente grupo de cuatro. A priori, observando las primeras potencias de dos, esto parece no ocurrir, pero con algo de paciencia encontramos la sucesión \(2^{91},\ldots,2^{105}\), formada por cinco grupos de tres potencias de dos de, respectivamente, \(28\), \(29\), \(30\), \(31\) y \(32\) cifras decimales, con lo que la cota superior se alcanza y hemos terminado.
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