Publicamos la solución al divertimento Las vacas prestadas. Gracias a F. Damián Aranda, Don Diedro y Don Pablo, Juan Miguel Expósito y David Ramos y Antonio Medinilla, que han resuelto el misterio de las vacas.
Divertimento:
Para ayudarle en una granja que estaba empezando a montar, Alberto le prestó a Roberto unas cuantas vacas y le pidió que se las devolviera en diez años de la manera siguiente: al terminar el primer año, Roberto tendría que devolver la mitad. Al terminar el segundo año, tendría que devolver la tercera parte de las vacas que todavía tenía. Al terminar el tercer año, tendría que devolver la cuarta parte de las que le quedaban, y así sucesivamente, de modo que al terminar el noveno año tendría que devolver la décima parte de las que todavía tenía y al terminar el décimo año tendría que devolver el resto de las vacas que le quedaban, que eran menos de 300. ¿Puedes calcular qué número de vacas le prestó Alberto a Roberto?
Solución:
Llamemos A al número de vacas que Alberto le prestó a Roberto. Al terminar el año \(n\), las vacas devueltas serán \(A / n (n+1)\) y las que aún faltan por devolver serán \(A /(n+1)\):
| Año | Vacas devueltas | Vacas restantes |
| 1 | A/2 | A/2 |
| 2 | A/6 | A/3 |
| 3 | A/12 | A/4 |
| … | … | … |
| 9 | A/90 | A/10 |
El número de vacas que Roberto tendrá que devolverle a Alberto el último año será \(A/10\). Entonces, como todas las devoluciones tienen que ser números enteros, \(A\) debe ser divisible por todos denominadores de la segunda columna, es decir, por 2520, que es el mínimo común múltiplo de todos ellos. Eso significa que \(A = 2520 E\), donde \(E\) es un número entero. Como además el número de vacas que debe devolver el último año es menor que 300, entonces \(A/10\) debe ser menor que 3000, y por tanto \(E = 1\), de donde \(A =2520\). Alberto le prestó a Roberto 2520 vacas.
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