Quien se haya acercado alguna vez a la práctica de historiar la matemática, se habrá dado cuenta, probablemente de forma abrupta, de cuán distintas eran las cosas en el pasado en comparación con cómo son hoy: conceptos, métodos, terminología, etc. Un choque de realidad que obliga, una vez uno se recompone del mareo, a fijar con firmeza su suela en el lejano piso de la época en la que se ha adentrado. Pues bien: veamos cómo lleva el lector ese choque de realidad ante la siguiente fórmula: \(\ \)
$$
\frac{1}{2}\pi=\frac{\infty}{\sqrt{-1}}\{\left(1+\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}-\left(1-\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}\}
$$
Vamos a hacer un rápido viaje en el tiempo, de unos 200 años, para embebernos en la época y así poder captar la “belleza” y la “naturaleza enteramente trascendente” de esta expresión.
Nos encontramos en Francia, a principios del siglo XIX. Los matemáticos empiezan a ser conscientes de ciertas fisuras en el edificio que es su disciplina, y se disponen a mirar con un poco más de detenimiento y precisión las bases sobre las que lo han ido construyendo a lo largo de las pasadas décadas. Conceptos como el de infinitesimal, tan usado y tan útil en el siglo anterior, pero también tan problemático, se evitan y proscriben. Pero, de todos modos, este es un proceso lento y complejo, y aún hay libros de texto y diccionarios matemáticos regados de métodos, conceptos o fórmulas más propias de épocas pasadas. Este es el caso del Dictionnaire des sciences mathématiques pures et appliquées de M. Sarrazin de Montferrier (1792–1863), miembro de la Real Academia de Ciencias de París, y autor de, entre otros trabajos, varios diccionarios; el recién mencionado se publica en dos volúmenes en los años 1835 y 1836.
Es importante señalar que, como fuente histórica, no solo los libros de texto, las revistas científicas de la época o la correspondencia entre los autores a estudiar, son relevantes. Los diccionarios científicos, dado el objetivo que se proponen como diccionarios, proporcionan la oportunidad de conocer qué tipo de términos, conceptos, etc eran utilizados, y cuál era el significado que mayoritariamente se les asociaba. En el citado diccionario de Montferrier, la entrada que lleva por título “círculo” nos ofrece interesante información acerca de un número muy querido hoy, junto con vistosas y elegantes fórmulas como la debida a Johann Bernoulli:
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\frac{1}{2}\pi =\frac{\ln\sqrt{-1}}{\sqrt{-1}}
$$
Sobre esta fórmula, Montferrier nos dice que carece del carácter elemental necesario para mostrar la verdadera naturaleza del número que representa, puesto que: “para obtener la expresión teórica de un número (aquella que constituye su naturaleza), no deberían emplearse más que funciones elementales enteramente primitivas (sumas, productos, potencias y sus inversas)”, y añade:
“M. Wronsky llegó a la bella expresión:
$$
\frac{1}{2}\pi=\frac{\infty}{\sqrt{-1}}\{\left(1+\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}-\left(1-\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}\}
$$
que efectivamente no contiene más que funciones primitivas y que revela la naturaleza enteramente trascendente de este famoso número”.
Jozéf-Maria Hoëné de Wronski (1778–1853) fue un filósofo polaco que escribió sobre matemáticas y filosofía de las matemáticas. Autor controvertido, entró en disputa con Lagrange por su uso de las de las series infinitas, proponiendo sus propias ideas para la expansión de funciones en series. A pesar de acabar poco menos que condenado al ostracismo por parte de la comunidad matemática, sus trabajos sobre filosofía de las matemáticas y matemáticas gozan hoy día de cierta relevancia para los historiadores.
Pero volvamos a la mencionada fórmula. Aquí ya vemos algún que otro desajuste con respecto a nuestras matemáticas. Uno de ellos es terminológico: (la naturaleza de) \(\pi\) es (enteramente) trascendente en tanto que la presencia del infinito en esa expresión, que sí revela su naturaleza, lo hace trascender al marco algebraico, es decir, al álgebra. Es en ese sentido en el que trasciende al álgebra, y no en el sentido moderno, a saber, trasciende al álgebra porque no es raíz de una ecuación algebraica. Un segundo desajuste es formal, en tanto que el infinito (¡en acto!) juega un papel, y un papel importante, en dicha expresión. Y un tercer desajuste es el metodológico, más propio de un siglo XVIII que de un siglo XIX, y desde luego que de un siglo XX y XXI. Veamos cómo Wronsky llega a esta “bella” fórmula a partir de la establecida por Bernoulli.
Wronsky comienza con una función \(\varphi(x)\) tal que:
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x=a^{\varphi(x)}
$$
de la que obtiene, aplicando el Binomio de Newton, la siguiente expresión:
$$
x^{\frac{1}{m}}=\left[\sqrt[m]{a}\right]^{\varphi(x)}=\left[1+(\sqrt[m]{a}-1)\right]^{\varphi(x)}=1+\frac{\varphi(x)}{1}\cdot (\sqrt[m]{a}-1)+\frac{\varphi(x)}{1}\cdot\frac{\varphi(x)-1}{2}\cdot (\sqrt[m]{a}-1)^{2}+\ldots
$$
y por lo tanto:
$$
x^{\frac{1}{m}}-1=\frac{\varphi(x)}{1}\cdot (\sqrt[m]{a}-1)+\frac{\varphi(x)}{1}\cdot\frac{\varphi(x)-1}{2}\cdot (\sqrt[m]{a}-1)^{2}+\ldots
$$
Pero ahora, “observando que cuando la cantidad arbitraria \(m\) es infinitamente grande el segundo miembro de esta última igualdad se reduce a su primer término”, obtenemos:
$$
\varphi(x)=\frac{x^{\frac{1}{\infty}}-1}{\sqrt[\infty]{a}-1}
$$
Teniendo en cuenta que tanto el numerador como el denominador son cantidades infinitamente pequeñas, es decir, infinitesimales, multiplicándolas por una cantidad infinitamente grande \(m\), obtendremos la misma expresión, ahora con un numerador y un denominador finitos:
$$
\varphi(x)=\frac{\infty\cdot(x^{\frac{1}{\infty}}-1)}{\infty\cdot(\sqrt[\infty]{a}-1)}
$$
Wronsky menciona ahora que entre todas estas funciones (no se pierda de vista que todas dependen de \(a\)), la más simple sería aquella en la que el denominador sería igual a la unidad, y representa ese valor concreto de \(a\) para el cual dicho denominador es igual a la unidad, mediante la letra \(e\), valor numérico bien conocido:
$$
\infty\cdot(\sqrt[\infty]{e}-1)=1 \Leftrightarrow e= \left(1+\frac{1}{\infty}\right)^{\infty}
$$
Por lo tanto esa función particularmente simple no es otra que la función logaritmo neperiano:
$$
\ln{x}=\infty\cdot (x^{\frac{1}{\infty}}-1)
$$
A partir de este momento, no tenemos más que tener en cuenta que:
\begin{eqnarray*}
\ln\sqrt{-1}=\ln\frac{1+\sqrt{-1}}{1-\sqrt{-1}} &=& \ln (1+\sqrt{-1})-\ln (1-\sqrt{-1})\\
&=& \infty\left[\left(1+\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}-1\right]-\infty\left[\left(1-\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}-1\right]\\
&=& \infty \left[\left(1+\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}-\left(1-\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}\right]
\end{eqnarray*}
para obtener la “bella expresión que revela la naturaleza enteramente trascendente de este famoso número”:
$$
\frac{1}{2}\pi = \frac{\ln \sqrt{-1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\infty}{\sqrt{-1}}\{\left(1+\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}-\left(1-\sqrt{-1}\right)^{\frac{1}{\infty}}\}
$$
Referencias
E. Dorrego López, (2021), Irrationality and transcendence in the 18th and 19th centuries. A contextualized study of J. H. Lambert’s Mémoire (1761/1768). Tesis Doctoral Inédita. Universidad de Sevilla, Sevilla.
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