John Von Neumann y la axiomatización de la Mecánica Cuántica

En varias entradas de este blog hemos hablado de las matemáticas que iban apareciendo para resolver la segunda nubecilla de Lord Kelvin, y que culminó con la aparición de la Mecánica Cuántica, tanto en la versión de Gotinga, la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordan, como la mecánica ondulatoria de Schrödinger. También vimos como desaparecía en la Física el principio de causalidad de manos de Max Born con su interpretación probabilística de la función de onda y, casi al mismo tiempo, con el descubrimiento del principio de incertidumbre en las mediciones por parte de Heisenberg, y como todo esto derivó en una pelea de los defensores de la postura de que la Mecánica Cuántica era una teoría completa y los que no.
Así pues corría el año 1927 y aparece en nuestra historia un ilustre personaje, el matemático Jonh Von Neumann (del que ya se habló aquí y aquí).  ¿Matemático? La verdad es que encasillar a Von Neumann como matemático es quedarse corto. El bueno de John aparte de sus indudable éxito como matemático resolvió el problema nada trivial de axiomatizar la Mecánica Cuántica, concibió la teoría de juegos que es una de las bases sobre las que se apoya la Economía moderna, fue el padre de los ordenadores modernos, por citar algunos de sus logros.
János Lajos Neumann a los 7 años

János Lajos Neumann nació en Budapest en 1903, y era el hijo mayor de un banquero judío Max Neumann y Margaret Kann. En 1913 su padre recibió el título de Margittai (un título nobiliario otorgado, o en este caso comprado, al entonces emperador astro-húngaro Francisco José) por lo que pasó a llamarse Margittai Neumann János que se transformó en el germanizado János Neumann Von Margittai que terminó siendo, ya en los Estados Unidos en el John Von Neumann, Johnny para los amigos, con el que pasó a la posteridad.

Ya desde muy pequeño mostró su asombrosa capacidad para las matemáticas y su prodigiosa memoria: tenía memoria fotográfica. Le encantaba leer y recordaba prácticamente todo lo que leía. Hay numerosas anécdotas que dan buena cuenta de ello. Por ejemplo, con apenas 11 años se había devorado los 44 volúmenes de la Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen (Historia Universal) coordinada y editada por el historiador alemán Wilhelm Oncken. A los 11 años ingresó en el Gymnasium Luterano y allí su primer profesor de matemáticas Laszlo Rácz se dio cuenta de su talento y convenció a su padre para que le dieran clases especiales de matemáticas que el mismo organizó. En este mismo Gymnasium estudiaba en un curso superior el célebre físico matemático Eugene Wigner quien fue amigo de Von Neumann durante toda su vida. De hecho Wigner contaba que decidió no estudiar matemática pues no tenía nada que hacer habiendo conocido a Jonny:
“En aquella época sólo había tres puestos para un matemático en Hungría. Sobre todo por haber conocido a Jancsi von Neumman,  me di cuenta de cuál era la diferencia entre un matemático de primer nivel y alguien [como yo].»
 “At that time there were only three positions for a mathematician in Hungary. Particularly from having known  Jancsi  von Neumann,  I realized  what  the  difference was between a first-rate mathematician and someone [like me].»
Durante los 10 años que estuvo en el Gymnasium le toco vivir una época turbulenta: la Primera Guerra Mundial y el fugaz pero aterrador gobierno comunista de Béla Kun.
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Aunque Johnny estaba decidido a estudiar matemáticas su padre no veía esa idea con buenos ojos pues pensaba que no iba a poder ganarse la vida como matemático, así que consiguió convencerlo para que estudiara alguna ingeniería. Fue así como Von Neumann se matriculó en 1921 en la Universidad de Budapest para estudiar matemáticas pero al mismo tiempo fue estudiante de Química en Berlín (hasta 1923) donde recibió clases de Albert Einstein, entre otros. Además, se matriculó en la Escuela Politécnica Federal de Zúrich (ETH-Z), donde en 1925 obtuvo la licenciatura en ingeniería química. El 1926 se doctoró en matemáticas por la Universidad de Budapest. En 1926, con 24 años, fue nombrado Privatdozent de la  Universidad de Berlín donde estuvo hasta 1929, siendo el Privatdozent más joven de la historia de dicha Universidad. Al mismo tiempo obtuvo una beca Rockefeller para hacer un postdoctorado en la Universidad de Gotinga, la meca de las matemáticas en esa época, bajo la dirección del que se consideraba en aquel momento el mejor matemático del mundo: David Hilbert.
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Tras su paso por Gotinga fue invitado por la Universidad de Princeton junto a Wigner como profesor visitante durante un semestre, que finalmente alternó hasta 1933 con viajes a Alemania. La llegada de Hitler al poder pilló a Von Neumann en Estados Unidos coincidiendo con la apertura del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton que lo eligió como uno de los primeros profesores junto con Einstein, Weyl, entre otros. En 1943 se unió al Proyecto Manhattan y tras la guerra fue eligido como uno de los miembros del comité encargado de tomar decisiones estratégicas por el entonces todopoderoso general Leslie R. Groves, el director del Proyecto Manhattan. Aunque también fue blanco de las persecuciones organizadas por el senador McCarthy y que constituyó una auténtica caza de brujas, Johnny no dudó en apoyar públicamente a Robert Oppenheimer cuando este fue denunciado al  Comité de Actividades Antiamericanas. En enero de 1955, Von Neumann fue ratificado por el Senado de los Estados Unidos como uno de los cinco comisarios de la Comisión de Energía Atómica, el puesto más alto al que un científico podía aspirar en el gobierno de los Estados Unidos.
John von Neumann (right) recibiendo la  Medalla Presidencial de la Libertad  de manos del Presidente Dwight Eisenhower el 15 de febrero de 1956.
En 1956 le fue concedido el premio Fermi y la Medalla Presidencial de la Libertad. John Von Neumann moría el 8 de febrero de 1957 de un cáncer de huesos que le fue diagnosticado en 1955.
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Pero retrocedamos a cuando Johnny acababa de conseguir esa beca para ir a trabajar a Gotinga. ¿Qué se estaba cociendo en la meca de las ciencias básicas en esos momentos? Para ello hay que retroceder unos años, hasta 1900.
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En en año 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos de París Hilbert formuló una serie de problemas que según él serían cruciales para el desarrollo de la matemática en el Siglo XX. El segundo problema de la lista consistía en probar la consistencia de los axiomas de la aritmética, es decir, probar que no es posible demostrar a partir de los axiomas de la aritmética, que una proposición y su negación sean ambas verdaderas. Ello venía a cuento de las muchas contradicciones y paradojas que afectaban a los fundamentos de las matemáticas aparecidas a finales del siglo XIX como, por ejemplo, la Paradoja de Russell.
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Intentando acabar con este tipo de cuestiones Hilbert formula lo que a posteriori se denominó el Programa de Hilbert que esencialmente pretendía «establecer sistemas de axiomas para cada área de las matemáticas, a partir de los cuales se pudiera deducir mediante demostración rigurosa cualquier propiedad verdadera en esa área», como cuenta Antonio Durán en esta interesante entrada.
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Von Neumann no podía haber llegado en un mejor momento a Gotinga. Era el año 1927. Se acababa de desarrollar la Mecánica Cuántica y Gotinga no solo era el centro de las matemáticas mundiales, sino también el centro de la nueva Física. Como veremos Johnny no desaprovechó esta oportunidad. Jonh Von Neumann participó activamente en el Programa de Hilbert y obtuvo resultados tremendamente interesantes que publicó por ejemplo en un artículo de 46 páginas en el volumen 26 de 1927 de la revista Mathematische Zeitschrift titulado Zur Hilbertschen Beweistheorie (On Hilbert’s proof theory). Sin embargo, como se cuenta en la entrada antes mencionada, en un congreso sobre epistemología de las ciencias exactas celebrado en septiembre de 1930 en Königsberg el joven lógico austriaco Kurt Gödel de 24 años había impartido un seminario donde comunicó que era capaz de dar ejemplos de proposiciones aritméticas verdaderas pero indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas,  dando de esta forma al traste con el Programa de Hilbert. Lo que había probado Göedel es lo hoy se conoce como el Teorema de incompletitud de Göedel.  Como anécdota curiosa cabe mencionar que de casi ninguno los asistentes a dicho congreso fue capaz de comprender inmediatamente el alcance de los resultados de  Göedel a excepción de John von Neumann.
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Pero Johnny no solo trabajó en Gotinga en el segundo problema de Hilbert, sino también el el sexto: Axiomatizar toda la física. Concretamente en la axiomatización de la recién nacida Mecánica Cuántica.
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A ese respecto von Neumann, consciente de los problemas derivados de la interpretación probabilística de Born se propuso establecer una base axiomática que eliminara las supuestas paradojas como la dualidad onda-partícula, etc. Una posibilidad que se barajaba para acabar la controversia era encontrar una teoría matemática que englobara ambos puntos de vista. Esa teoría no era más que la recién desarrollada teoría de los espacios funcionales desarrollada por Hilbert unos años antes.
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El propio Born ya lo había comentado en un pie de página del famoso artículo escrito junto a Heisenberg y Jordan comúnmente conocido como Dreimännerarbeit  (el trabajo de los tres hombres) donde desarrollaban la la mecánica matricial y del que ya hablamos aquí. En particular, Born explicaba
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«Hasta ahora, la teoría de las formas cuadráticas (o hermíticas) [matrices asociadas a los operadores] de infinitas variables se ha desarrollado principalmente para una clase especial (formas «acotadas»). Pero aquí nos interesan las formas no acotadas. Sin embargo, podemos suponer que, en general, las reglas se aplican de la misma manera.»
En realidad lo que Born asumía era mucho pedir ya que el problema cuando las formas hermíticas son no acotadas es muchísimo más complicado desde el punto de vista matemático y tiene implicaciones nada triviales en la propia mecánica cuántica.
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Lo que hizo Von Neumann es desarrollar la teoría general de operadores en los espacios funcionales adecuados, espacios que denominó con el nombre de Hilbert. Así los espacios de Hilbert \(\mathbb{H}\) eran espacios que generalizaban los espacios de dimensión finita como \(\mathbb{R}^3\) a dimensión infinita. Es decir, donde los vectores o elementos de un espacio de Hilbert de dimensión infinita tenían un número infinito de coordenadas al expresarse en una base de vectores apropiada. En dichos espacios Von Neumann definía operadores que constituían una generalización de las funciones del análisis clásico. Ahora podía ocurrir que una función en vez de tener como variable un número real (o complejo), tuviese como variable una función (un elemento de \(\mathbb{H}\)), de forma que a cada elemento función (o elemento de \(\mathbb{H}\)) se le hiciese corresponder un número -lo que hoy llamamos funcionales- o bien otra función (o elemento de otro espacio de Hilbert) -lo que hoy llamamos operadores-.
Primera página del artículo de Hilbert, von Neumann y Nordheim, Über die Grundlagen der Quantenmechanik (Sobre los fundamentos de la mecánica cuántica) en Mathematische Annalen   98, 1-30 (1928)
En una serie de artículos, algunos en colaboración con el propio Hilbert, Von Neumann desarrolló lo que hoy conocemos como la teoría de operadores en espacios de Hilbert y la aplicó a la Mecánica cuántica. Una consecuencia de esa intensa investigación es el libro Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica) publicado en 1932 y que hoy día sigue siendo de utilidad para entender los Fundamentos de la Mecánica Cuántica.
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En este libro Johnnny establece los postulados más conocidos de la Mecánica Cuántica. Entre ellos, por ejemplo, tenemos los siguientes:
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1. Todo estado físico viene determinado por un vector \(\Psi\) en un espacio de Hilbert apropiado \(\mathbb{H}\).
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2. Cualquier magnitud física se describe a través de un operador lineal «hermítico» \(A\) definido sobre dicho espacio de Hilbert \(\mathbb{H}\), cuyos vectores \(\Psi\) definen los posibles estados del sistema físico.
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3. El valor esperado de una magnitud física \(M\) cualquiera de un sistema en el estado \(\Psi\), es \(\langle \Psi , M \Psi \rangle\), donde \(\langle \cdot |\cdot \rangle\) representa el producto escalar en el  espacio de Hilbert y \(M\) es el operador correspondiente a dicha magnitud.
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4. La función de onda \(\Psi\) del sistema está gobernada por la ecuación de Schrödinger \(H \Psi =i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}\), donde \(H\) es el operador Hamiltoniano del sistema asociado a la energía del sistema.
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Si tomamos  \(\mathbb{H}\) como el espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado integrable, es decir aquellas tales que exista la integral \(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2dx\), entonces el Hamiltoniano del sistema es el operador \(H\) definido como
$$H:=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) I,$$
donde \(I\) es el operador identidad, es decir, el que a cada función le hace corresponder la propia función. De esta forma, la ecuación de Schrödinger del postulado 4 se escribiría
$$H \Psi(x,t)=i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t),$$
o, equivalentemente,
$$-\dfrac{\hbar  ^2}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t).$$
Así, por el postulado 3, los posibles valores de energía del sistema cuántico vendrían dados por
$$\langle E\rangle (t)=\int_{-\infty}^{\infty}   \overline{\Psi(x,t) }\left(H  \Psi(x,t)\right)d x.$$
Al ser \(H\) un operador hermítico entonces sus autovalores son necesariamente reales, lo mismo que pasa con el valor medio de la energía, por lo que se puede comparar los resultados teóricos con los experimentales.
Primera edición del libro de Von Neumann Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica) publicado en 1932 por Springer (Berlín)
En su libro Von Neumann también que describe, en el capítulo VI, como es la interacción del observador con el sistema cuántico y como dicha interacción cambia el propio sistema. Lo que hoy conocemos como la teoría de mediciones de Von Neumann. Groso modo esta consistía en lo  siguiente: supongamos que tenemos dos posibles estados \(A\) y \(B\) de un sistema definidos por las funciones de onda \(\Psi_1\) y \(\Psi_2\), respectivamente. ¿Cómo saber en cual de los estados está el sistema? Este dilema se resolvía al hacer el experimento. De la interacción del aparato de medición con el sistema se concluía en que estado estaba (o más bien, se quedaba) el sistema (véase la figura siguiente). Este efecto es lo que los físicos denominan como el colapso de la función de onda. 
Las mediciones selectivas de Von Neumann. Un sistema que originalmente puede estar en dos estados A y B (izquierda), se decanta por uno de ellos al realizar la medición (derecha). El aparato de medición interfiere en el sistema acabando con la incertidumbre del mismo.
 Esta teoría estaba plagada de efectos curiosos. Uno de los más famosos es el hecho de que al medir una magnitud física \(f(a)\) de un sistema físico microscópico (cuántico) \(A\) debemos usar un instrumento que es, en sí mismo otro sistema físico \(M\) y que obviamente es clásico, es decir, su comportamiento se puede explicar con las leyes de la física clásica. Pero entonces puede ocurrir que la interacción entre \(A\) y \(M\), necesaria para poder saber el valor de \(f(a)\) cree una interferencia que se transfiera al mundo macroscópico, algo prohibido por el famoso principio de correspondencia de Bohr  que entre otras cosas establecía que la física cuántica debía estar aparte de la clásica.
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Obviamente podemos pensar que para resolverlo basta con usar otro aparato \(M’\) que mida lo que mide \(M\), pero entonces la interferencia pasa a \(M’\) y así sucesivamente terminamos en una cadena infinita. Von Neumann intentó resolver esta paradoja introduciendo en la cadena al observador humano que «no se deja interferir» por el sistema cuántico. Está claro que hay mucho de filosofía también en esta interpretación de Von Neumann.
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La teoría axiomática de de Von Neumann que incluía su teoría de mediciones fue muy bien recibida por los defensores de la mecánica matricial pero no gustó nada a los detractores de la mecánica matricial, lo cual era de esperar. De hecho para intentar dar al traste con la interpretación de Copenhagen (como se conocía a la interpretación probabilística) Schrödinger en 1935 ideó la famosa paradoja del gato, conocida hoy día como el  Gato de Schrödinger. Pero esa es otra historia que bien merece una entrada y de la que ya hablaremos en un futuro.
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Para saber más:
Sobre John Von Neumman y su obra se puede consultar los libros
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[1] Willian Poundstone, El dilema del prisionero, Alianza Editorial.
[2]   Giorgio Israel y Ana Millán Gasca, El mundo como un juego matemático. John von Neumann un científico del siglo XX. Nivola Libros Ediciones.
[3] Jesús Mosterín, Los Lógicos. Espasa Forum.
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Su impresionante lista de publicaciones se puede ver aquí.
La imagen destacada es una superposición de la portada de la primera edición del libro Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik y una foto de John Von Neumann.
Sobre Renato Álvarez Nodarse 84 Artículos
Catedrático de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, mis áreas de interés son teoría de funciones especiales y aplicaciones en problemas de física matemática.

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