Solución: potencias que acaban en la misma cifra

Publicamos la solución al divertimento potencias que acaban en la misma cifra. En esta ocasión, han resuelto el problema completamente Renato Álvarez Rodríguez y Niurka Rodríguez Quintero, Floro Damián Aranda Ballesteros, Ángela Colón y Pablo Montero, Magdalena Jáñez, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, José Luis Ramírez Fabra, Jesús Reyes Toro y Víctor Sánchez Sánchez y Rubén Ríos Mallqui. Se han recibido soluciones parciales al problema, de Juan Miguel Expósito y Don Pablo y Don Diedro.

Divertimento:

En el divertimento que traemos hoy nos fijamos en una particularidad del número \(5\): la última cifra de \(k^5\) coincide con la última cifra de \(k\) para cualquier número natural \(k\). Por ejemplo, \(1^5=1\), \(2^5=32\), \(3^5=243\), \(4^5=1024\), \(5^5=3125\), \(6^5=7776\), etc.

Planteamos, en primer lugar, demostrar que esta observación es cierta. Por otra parte, nos preguntamos cuáles son los exponentes \(n\), además de \(5\) y evidentemente de \(1\), para los que se cumple esta misma propiedad: para cualquier \(k\) natural, la última cifra de \(k\) y \(k^n\) son iguales.

Solución:

Podemos suponer que \(n \geq 2\) porque la propiedad es evidente para \(n=1\). Los números \(k\) y \(k^n\) acaban en la misma cifra si y solo si \(10|(k^n-k)\), es decir, \(2|(k^n-k)\) y \(5|(k^n-k)\). Como siempre se tiene que \(2|(k^n-k)=k(k^{n-1}-1)\), porque \(k\) y \(k^{n-1}-1\) tienen paridad opuesta, entonces \(10|(k^n-k)\) si y solo si \(5|(k^n-k)=k(k^{n-1}-1)\). Por tanto, la condición del problema es equivalente a determinar todos los exponentes \(n\) tales que \(5|(k^{n-1}-1)\) para cualquier número \(k\) que no sea divisible entre \(5\).

Consideremos un exponente \(n \geq 2\) y sean \(q\) y \(r\) el cociente y el resto de dividir \(n-1\) entre \(4\),
$$n-1 = 4q+r, \qquad 0 \leq r \leq 3.$$
Por el Pequeño Teorema de Fermat, si \(k\) no es divisible entre \(5\) se tiene que \(5|k^4-1\), es decir, \(k^4-1=5s\). Se tiene que $$k^{n-1}=k^{4q} \cdot k^r=(k^4)^q \cdot k^r = (5s+1)^q \cdot k^r.$$ Desarrollando \((5s+1)^q\) mediante el teorema del binomio, se tiene que \((5s+1)^q = 5s’+1\) para cierto \(s’ \in \mathbb N\). Luego \(5|k^{n-1}-1\) si y solo si \(5|(5s’+1)k^r-1\), es decir, \(5|k^r-1\).

Concluimos el problema viendo que \(5| k^{n-1}-1\) para todo \(k\) no divisible entre \(5\) si y solo si \(r=0\), es decir, \(n-1\) es múltiplo de \(4\). En primer lugar, si \(n-1\) es múltiplo de \(4\), por lo que hemos demostrado anteriormente se tiene que \(k^r-1 = k^0-1=0\), que es divisible entre \(5\). Recíprocamente, basta ver en particular, para \(k=2\), que \(5\) no divide a \(2^{r-1}-1\), si \(r=1\), \(r=2\) o \(r=3\).