La apuesta ganadora

Este divertimento forma parte del concurso de 2024. Puedes encontrar las bases en este enlace.

Delantal:

Hace algún tiempo planteamos un problema en el que a la protagonista le salía el tiro por la culata, como suele decirse, por pasarse de lista e intentar engañar a sus clientes. No podíamos esperar que, desde entonces, se hubiera dejado atrás algo tan arraigado como la picaresca, ya documentada en El Lazarillo de Tormes. Estas prácticas siguen a la orden del día, así que volvemos a plantear un divertimento en la misma línea. Debo confesar que estos problemas con moraleja, en los que alguien intenta aprovecharse de la situación pero sale perdiendo por no saber matemáticas, me causan cierta satisfacción, similar a la que encuentro en las noticias y artículos que nos cuentan cómo grupos de matemáticos o físicos dejan un agujero en las cuentas de los casinos.

Divertimento:

Ante el fracaso de sus artimañas despachando arroz, la protagonista de nuestro divertimento La Balanza Trucada se ha adentrado en el mundo de la manipulación de los naipes, adquiriendo una destreza tal que su probabilidad de ganar una partida jugando a las cartas es el doble de la probabilidad de perderla. Llevada por la codicia, va al casino y decide jugar contra la banca, apostando en cada partida una proporción fija \(1/x\) del dinero que tiene al comienzo de ésta, con \(x>1\). Ahora sí que me voy a hacer de oro, se dice a sí misma, manejando las cartas con maestría y discreción. Después de una determinada cantidad de partidas, en las que ha conseguido su propósito de ganar exactamente el doble de veces de las que ha perdido, observa con estupor que tiene menos dinero que cuando empezó a jugar. ¿Qué valores puede tomar la proporción \(1/x\) de dinero que está apostando en cada partida?

Suponiendo que de cada tres partidas consecutivas se ganan dos y se pierde una, y tomando \(x\) de forma adecuada, ¿cuál es la menor cantidad de partidas que se deben jugar para garantizar que se duplica la cantidad inicial de dinero?

Nota: si nuestra protagonista apuesta una cantidad \(C\) en una partida, recibe \(2C\) si gana (recupera lo apostado y gana otro tanto aportado por la banca), mientras que si pierde, entonces pierde la cantidad \(C\) apostada, con la que se queda la banca.

Soluciones:

Puedes enviar tus soluciones hasta el viernes 5 de julio a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el lunes 8 de julio. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.