Solución: las llaves maestras

Publicamos la solución al divertimento Las llaves maestras. En esta ocasión, Renato Álvarez y Niurka Rodríguez, Magdalena Jáñez y Antonio Medinilla y David Ramos han enviado soluciones acertadas.

Divertimento:

Las aulas de las facultades de un campus de cierta universidad están numeradas de forma correlativa desde el 1 en adelante sin que haya dos aulas con el mismo número. Para deleite de los conserjes, cada aula tiene su propia llave, etiquetada con el mismo número. Pero resulta que, además, cada llave puede abrir la puerta de otras aulas cuando el número de la llave es un divisor del número del aula.

Como cada veintinueve de mayo, los conserjes se disponen a probar las llaves, siguiendo el Protocolo de Mantenimiento de edificios de la universidad. Dicho Protocolo establece que, para comprobar si una llave funciona en una puerta, ésta debe cerrarse si se encuentra abierta, o bien abrirse si se encuentra cerrada. Comenzando con todas las puertas cerradas, y siguiendo el Protocolo al pie de la letra, los conserjes prueban cada una de las llaves en todas las puertas del campus, abriendo las que se encuentran cerradas y cerrando las que se encuentran abiertas.

Cuando han terminado de probar todas las llaves hay 214 aulas cerradas. Todas las llaves funcionan correctamente. ¿Cuántas puertas se han quedado abiertas?

Solución:

El número de cada aula determina si se ha quedado abierta o cerrada al terminar de probar las llaves. Si dicho número tiene una cantidad par de divisores estará cerrada, y estará abierta si esta cantidad es impar. Vamos a utilizar que, si la factorización de \(n\) en producto de números primos es \(n=p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}\), entonces el número de divisores de \(n\) es igual a \(d(n)=(a_1+1) \cdots (a_k+1)\). En particular, \(n\) tiene una cantidad impar de divisores si y sólo si \(a_1+1,\ldots,a_k+1\) son todos impares. Esta condición equivale a que \(a_1,\ldots,a_k\) sean todos pares, es decir, a que \(n\) sea un cuadrado perfecto. De este modo, las puertas de las aulas numeradas con cuadrados perfectos se han quedado abiertas, mientras que las 214 restantes están cerradas.

Sea \(N>1\) y \(0 \leq m \leq 2N\). Entre 1 y \(N^2+m\) hay exactamente \(N\) cuadrados perfectos, y \(N^2-N+m\) números que no son cuadrados perfectos. Como \(214=225-11 = 15^2-15+4\), se concluye que se han quedado 15 puertas abiertas.