Publicamos la solución al divertimento Par o impar. Muchas gracias a anónimo17, Don Diedro y Don Pablo, José Luis Ramírez Fabra y Ruben Ríos Mallqui por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento
En este blog ya hemos hablado de Ana y Bernabé, jugadores empedernidos y matemáticos aficionados. Esta vez idean un nuevo juego: escriben (con cierta cantidad de paciencia) los números enteros del \(1\) al \(100\) en una pizarra y dejan un hueco entre cada dos números. Ana empieza y ambos jugadores van jugando alternativamente. En cada turno, un jugador elige un hueco que esté vacío y escribe un signo \(+\) o un signo \(\times\). Después de que todos los huecos se hayan rellenado, se efectúa la operación correspondiente, sumando y multiplicando los números. Si el resultado es impar, gana Ana. Si es par, gana Bernabé. ¿Existe una estrategia ganadora para alguno de ellos? ¿Puedes describirla?
Solución
Es Ana quien tiene las de ganar. En su primer turno, debe escribir un signo \(+\) entre el \(1\) y el \(2\) y, a partir de entonces, debe agrupar los huecos en parejas, cada una consistente en los dos adyacentes a cada número impar (mayor que \(1\)). Debe asegurarse de que al menos un hueco de cada pareja debe contener un signo \(\times\). De ese modo, casi todos los sumandos serán pares al tener la multiplicación preferencia sobre la suma. El único sumando impar será el \(1\) inicial, convirtiendo el resultado en impar.
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