Coordenadas triangulares

Este divertimento forma parte del concurso de 2024. Puedes encontrar las bases en este enlace.

Delantal:

La OEIS es una especie de Biblioteca de Alejandría de sucesiones de números enteros. El origen de esta colección se debe al esfuerzo de N. Sloane, quien en 1964 comenzó a recopilar distintas sucesiones; la versión online propiamente dicha no aparecería hasta 1996, cuando con más de 16000 entradas se deja atrás el registro en papel por resultar inmanejable. Los responsable de la OIES atesoran sucesiones que pueden aparecer al resolver cualquier problema. A cambio, los descubridores de nuevas sucesiones o relaciones pueden ver su nombre inscrito en este registro, que a día de hoy cuenta con más de 300000 entradas. Menos conocida pero igual de impresionante es la Encyclopedia of Triangle Centers, que desde 1998 ha recopilado más de 70000 puntos notables de los triángulos. Hoy os dejamos un problema relacionado con uno de esos puntos.

Divertimento:

Sea un triángulo \(ABC\) y denotemos por \(p\) a su semiperímetro. Partiendo desde \(A\) recorremos el lado \(AB\) y llegamos a un punto \(P\) en \(BC\) de modo que la distancia recorrida sea \(p\). Luego partimos de \(B\), recorremos \(BC\) y llegamos a un punto \(Q\) en \(CA\) tal que la distancia recorrida desde \(B\) sea \(p\). Y, por último, partimos de \(C\), recorremos \(CA\) y llegamos a \(R\), situado en \(AB\), tal que la distancia recorrida desde \(C\) sea \(p\). Se pregunta si las rectas \(AP\), \(BQ\) y \(CR\) son concurrentes.

Como los procedimientos habituales para quienes no sean especialistas en la geometría del triángulo pueden resultar algo intrincados, proponemos resolverlo mediante un sistema de referencia que pasamos a describir. Consideremos el triángulo \(ABC\). Dado un punto \(P\) cualquiera del plano, consideremos las distancias de dicho punto a las rectas \(BC\), \(AC\) y \(AB\), asignando a dichos números el signo \(+\) o \(-\) según que el punto \(P\) se encuentre en el mismo o distinto semiplano que el triángulo con respecto a dichas rectas. Denotemos por \((\alpha,\beta,\gamma)\) a estos números con signo. Diremos que las coordenadas de \(P\) son \([\alpha:\beta:\gamma]\) o \([k\alpha:k\beta:k\gamma]\) para cualquier \(k\) real positivo. Así, por ejemplo, diremos que las coordenadas del incentro del triángulo, punto equidistante de los lados, son \([1:1:1]\), y pueden nuestros lectores entretenerse en comprobar que las coordenadas triangulares del baricentro de \(ABC\) son \(\displaystyle{\left[\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}\right]}\) Es evidente que cada punto tiene una terna de coordenadas y que no existe ningún punto con las tres coordenadas negativas. Puede probarse que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\) y \(B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\) es $$\left|\begin{array}{ccc} x&y&z\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \end{array}\right|=0.$$

Usando todo lo anterior, os pedimos contestar a la pregunta planteada en el primer párrafo, indicando, en caso afirmativo, las coordenadas triangulares del punto de concurrencia en función de las longitudes de los lados de \(ABC\).

Solución:

Puedes enviar tus soluciones hasta el viernes 4 de octubre a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el lunes 7 de octubre. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.