A David Hilbert le habían ofrecido impartir una conferencia en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900. Después de mucho pensarlo, se decidió por hacer una conferencia absolutamente fuera de lo habitual: en vez de centrarse en alguna o algunas de sus propias contribuciones, optó por ofrecer una visión general de las matemáticas concretada en una lista con los 23 problemas que Hilbert creía más relevantes. Sobre el futuro de las matemáticas fue el título que eligió para la conferencia; su comienzo bien podría servir como primera línea de una gran novela: «¿Quién de nosotros no se alegraría de levantar el velo tras el que se oculta el futuro?». Sin duda, toda una lección magistral de tempo literario y sutileza, que sigue del siguiente modo:
«¿Quién de nosotros no se alegraría de levantar el velo tras el que se oculta el futuro; de echar una mirada a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos futuros? ¿Cuáles serán los objetivos concretos por los que se esforzarán las mejores mentes matemáticas de las generaciones venideras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos descubrirán las nuevas centurias en el amplio y rico campo del pensamiento matemático?».
Tiene mucho mérito que un joven de 38 años, como en 1900 tenía Hilbert, se atreviera a lanzar a la comunidad matemática los 23 problemas que, según él, había que aprestarse a resolver. Y todavía más mérito lograr que la comunidad siguiera después el camino que su reto marcaba, porque esa lista acabó condicionando las matemáticas durante casi todo el siglo XX. «Lo que Hilbert presentó en 1900 no consiste simplemente en una serie de problemas buenos y difíciles ―explicó Jeremy Gray en El reto de Hilbert―. Contiene una serie de argumentos, engarzados como las cuentas de un collar, acerca de por qué uno debería ocuparse, y por qué tendría que hacer un trabajo importante si quiere hacer progresos reales en cualquiera de ellos. Llevarían a teorías que arrojan luz sobre el tema, y sobre los temas próximos. Generarían más problemas. Exigirían altos niveles de rigor, necesarios para la comprensión adecuada de las propias matemáticas. Finalmente, constituyen un desafío que simplemente hay que afrontar, y que en última instancia uno debe afrontar con confianza».
Nunca nadie en matemáticas ha impartido una conferencia que haya tenido la milésima parte del impacto que tuvo la de Hilbert. Ni siquiera las que él mismo impartió después en otros Congresos Internacionales de matemáticos.
Buena parte de los problemas de la lista de Hilbert se han resuelto en el casi siglo y cuarto que ha pasado desde que los propusiera. Algunos de ellos, por cierto, de una forma bastante imprevista; demoledora, habría incluso que decir, para los planteamientos matemáticos de Hilbert. Es el caso de los dos primeros, sobre la hipótesis del continuo de Cantor y la compatibilidad de los axiomas de la aritmética, respectivamente. Kurt Gödel demostró en 1931 que la aritmética es incompleta e indecidible, arruinando así el programa formalista de Hilbert basado en los sistemas de axiomas para fundamentar las matemáticas. En cuanto a la hipótesis del continuo de Cantor (véase en este Blog The most beautiful inequation in mathematics), los resultados de Gödel de 1939-1940 y los de Cohen de 1963-1964 demostraron que es una proposición independiente del sistema de axiomas ZFC, en el sentido de que ni la hipótesis ni su negación se pueden demostrar a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel (incluido el axioma de elección).
Aunque no todos los problemas de la lista de Hilbert se han resuelto: ahí sigue la hipótesis de Riemann (a la que se han dedicado varias entradas en este Blog: Si la hipótesis de Riemann es cierta, será por los pelos., La hipótesis de Riemann y la Física, …), o el problema decimosexto (véase en este Blog El decimosexto problema de Hilbert).
Como veremos en la segunda parte de esta entrada, la idea de Hilbert de proponer listas de problemas se convirtió en tradición en el año 2000, con la novedad de ofrecer una millonada a quien resuelva alguno de los problemas de la lista.
Referencias
J. Gray, The Hilbert challenge, Oxford University Press, Oxford, 2001 (traducción al castellano, El reto de Hilbert, Crítica, Barcelona, 2003)
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