En esta entrada consideraremos sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan fenómenos explosivos. Veremos qué tipo de «explosión» puede darse y cómo y cuándo una acción desde el exterior puede evitarlo. Mencionaremos también algunas cuestiones abiertas de interés.
Explosiones y desmadres
Supongamos que \(E\) es un espacio de Banach de norma \(\| \cdot \|_E\) y nos interesa hablar de una función \(E\)-valuada \(y = y(t)\) que verifica
\[
\left\{
\begin{array}{l} \displaystyle
y_t + Ay = F(y), \quad t \geq 0 ,
\\ \displaystyle
y|_{t=0} = y_0
\end{array}
\right.
\]
(y tal vez algo más), donde \(A : D(A) \subset E \to E\) es una aplicación lineal, \(F : E \to E\) es una función no lineal e \(y_0 \in E\) es un dato.
Diremos que en este sistema se produce explosión en tiempo finito si existe \(T > 0\) tal que
\[
\limsup_{t \to T} \| y(t) \|_E = +\infty .
\]
Cuando esto ocurre, se suele interpretar que, en el instante \(T\), se ha producido una expansión violenta liberadora de energía que generalmente da por terminado el proceso.
Por ejemplo, si el problema es de origen térmico e \(y(t)\) se interpreta como la temperatura en el instante \(t\), la explosión en tiempo finito se puede identificar con el inicio de un proceso de combustión. Algo parecido ocurre si estamos viendo cómo evoluciona la concentración química de un producto o la densidad de población de un hábitat. Más aún, si estamos modelando la difusión de información en un colectivo, la explosión en tiempo finito puede ser indicadora de una alteración de la paz social, disturbios o desórdenes, etc.
En inglés, este fenómeno suele denominarse «blow-up». Curiosamente, este término sirvió de título a una excelente película de Michelangelo Antonioni, protagonizada por David Hemmings y Vanessa Redgrave, premiada con la Palma de Oro del Festival de cine de Cannes en 1966. Dejemos al lector averiguar por qué.
Modelos basados en EDOs
Para comprender bien la situación, consideremos en primer lugar el caso de una ecuación diferencial ordinaria (EDO):
\[
\left\{
\begin{array}{l} \displaystyle
y_t = F(y), \quad t > 0
\\ \displaystyle
y|_{t=0} = y_0
\end{array}
\right.
\]
donde \(F : {\bf R} \to {\bf R}\) es (por ejemplo) de clase \(C^1\).
Supongamos que \(F(z) > 0\) para todo \(z > 0\) e interesémonos por datos inciales positivos. Entonces no es difícil probar lo siguiente:
-
Si \(F\) es globalmente Lipschitz, no hay explosión en tiempo finito para ningún \(y_0 > 0\).
-
En caso contrario, dado \(y_0 > 0\), hay explosión en tiempo finito si y sólo si se cumple la condición siguiente (llamada condición de Osgood):\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dz}{F(z)} < +\infty .\]
Por tanto, si existe el límite
\[
L := \lim_{z \to +\infty} \frac{F(z)}{z \log(1 + z)},
\]
tendremos explosión en tiempo finito si y sólo si \(L = +\infty\); véase por ejemplo [1].
Modelos basados en EDPs
Consideraremos ahora el caso particular de la EDP del calor semilineal
\[
y_t – \Delta y = F(y), \quad x \in \Omega, \quad t > 0,
\]
donde \(\Omega \subset {\bf R}^N\) es un abierto conexo acotado y \(F: {\bf R} \to {\bf R}\) es de nuevo una función de clase \(C^1\) que verifica \(F(z) > 0\) para todo \(z > 0\). Aquí, \(-\Delta\) es el operador de Laplace usual:
\[
-\Delta z := – \sum_{i=1}^N \frac{\partial^2 z}{\partial x_i^2} .
\]
Las variables independientes \(x\) y \(t\) respectivamente designan puntos de la región \(\Omega\) e instantes de tiempo en \((0,T)\). Como se ha dicho, las soluciones se pueden interpretar como distribuciones espaciales de temperatura, densidades de población, concentraciones de un producto químico, etc. que evolucionan en tiempo y es preciso «completar» esta EDP con informaciones sobre \(y\) en puntos \((x,t)\) con \(x \in \partial \Omega\) (condiciones de contorno) y en el instante inicial \(t = 0\) (condiciones iniciales).
Impongamos por ejemplo que
\[
y(x,t) = 0, \quad x \in \partial \Omega, \quad t > 0
\]
y también
\[
y|_{t=0} = y_0, \quad x \in \Omega ,
\]
con \(y_0 \in L^\infty(\Omega)\) e \(y_0 \geq 0\) en casi todo.
Estamos en el marco general descrito al principio de la entrada con \(E = L^\infty(\Omega)\). Por tanto, la pregunta básica que debemos responder es si, una vez elegido \(y_0\), existe o no \(T > 0\) tal que
\[
\limsup_{t \to T} \| y(\cdot\,,t) \|_{L^\infty} = +\infty .
\]
Sin embargo, podemos plantear (y afortunadamente analizar e incluso dilucidar) muchas más cuestiones relacionadas con este fenómeno. Entre otras, las siguientes:
– Sabiendo que hay explosión, ¿podemos estimar el tiempo \(T\) donde ésta se produce? O bien, ¿sabemos estimar la «velocidad» con la que \(\| y(\cdot\,,t) \|_{L^\infty}\) crece a infinito?
– ¿Qué perfil adopta la solución cuando nos vamos acercando al instante \(T\) de explosión?
– ¿Sabemos identificar los puntos de \(\Omega\) donde \(y(x,t)\) crece a infinito?
– ¿Qué técnicas numéricas permiten describir cuantitativamente el fenómeno de explosión?
Para el análisis de estas cuestiones y muchas más, recomiendo las referencias [2,3,4] y las que allí se citan. Recordemos en particular los siguientes resultados, que indican que, en este contexto, el fenómeno explosivo posee similitudes con el que puede darse para una EDO:
-
Si \(F\) es globalmente Lipschitz, no hay explosión en tiempo finito sea cual sea el dato inicial \(y_0 \in L^\infty(\Omega)\).
-
Supongamos que existe el límite \(L\) indicado al final de la sección precedente. Entonces hay datos iniciales \(y_0 \in L^\infty(\Omega)\) no negativos que producen explosión en tiempo finito si y sólo si \(L = +\infty\).
Controlando el «blow-up», lo que se sabe y lo que no
Una cuestión interesante es la siguiente: dado un sistema cuya solución experimenta blow-up en tiempo finito, ¿es posible actuar desde el exterior de manera que esta situación deje de producirse?
Es más, ¿es posible actuar de manera que, en un tiempo prefijado, la solución se anule?
De forma suficientemente intuitiva, el problema se puede plantear así:
Sean \(\Omega\) y \(F\) como en la sección precedente con \(F(0) = 0\) y sea \(T > 0\). ¿Es cierto que, para cada dato inicial \(y_0 \in L^\infty(\Omega)\), para cada abierto \(\omega \subset \Omega\) y para todo par de tiempos \(T_1\) y \(T_2\) con \(0 \leq T_1 < T_2 \leq T\), existen funciones \(v = v(x,t)\) que sólo son diferentes de \(0\) en \(\omega \times (T_1,T_2)\) y soluciones asociadas \(y = y(x,t)\) del sistema
\[
\left\{
\begin{array}{l}\displaystyle
y_t – \Delta y = F(y) + v 1_{\omega \times (T_1,T_2)}, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,
\\ \displaystyle
y(x,t) = 0, \quad x \in \partial\Omega, \quad t > 0,
\\ \displaystyle
y|_{t=0} = y_0, \quad x \in \Omega
\end{array}
\right.
\]
tales que
\[
y(x,T) = 0, \quad x \in \Omega ?
\]
Cuando esto ocurre, se dice que la EDP en cuestión es controlable a cero en tiempo pequeño en \((0,T)\). Si es posible probar la existencia de \(v\) cuando \(y_0\) es suficientemente pequeño en norma \(L^\infty\), se dice que la EDP es localmente controlable a cero.
La función \(v\) se interpreta como un control (representa una acción realizada sobre el sistema desde el exterior, exclusivamente en los puntos de \(\omega\) durante el intervalo temporal \((T_1,T_2)\)) y toda solución asociada se denomina un estado (describe la evolución del fenómeno bajo observación). Tiene sentido suponer que \(v\) actúa en un pequeño dominio espacial durante un pequeño intervalo de tiempo; es justamente eso lo que hace el control viable.
Naturalmente, que la EDP sea o no controlable a cero vuelve a depender de las propiedades del comportamiento de \(F\) en el infinito.
No es difícil comprender que, cuando \(F\) conduce a una EDP no explosiva, cabe esperar controlabilidad a cero sean cuales sean \(\omega\), \(T_1\) y \(T_2\). Más precisamente, se tiene el resultado que sigue:
Teorema 1 ([5]): Supongamos que existe \(L\) y es finito y \(F(0) = 0\). Entonces la EDP precedente es controlable a cero en tiempo pequeño.
Pero, ¿qué ocurre si \(F(z)\) crece más rápidamente que \(z \log(1 + z)\) y por tanto pueden darse fenómenos de explosión en tiempo finito? Al día de hoy, que yo sepa, la respuesta más completa que puede darse es la siguiente:
Teorema 2 ([6]): En las condiciones precedentes,
-
Si \(F\) verifica \(F(0) = 0\) y
\[
\limsup_{z \to +\infty} \frac{F(z)}{z (\log(1 + z))^a} < +\infty
\]
con \(0 < a \leq 3/2\), entonces la EDP es controlable a cero en tiempo pequeño. -
Por el contrario, para cada \(a > 2\), existen funciones \(F\) con \(F(0) = 0\) tales que\[\limsup_{z \to +\infty} \frac{F(z)}{z (\log(1 + z))^a} = 0\] y la EDP no es controlable a cero. Más precisamente, para todo abierto no vacío \(\omega \subset \Omega\) y todo par de tiempos \(T_1\) y \(T_2\) con \(0 \leq T_1 < T_2 \leq T\), existen datos iniciales \(y_0 \in L^\infty(\Omega)\) tales que, sea cual sea el control elegido, la solución explota antes de \(T_2\).
En otras palabras: si el sistema es «débilmente» explosivo en el sentido del apto. 1, sea cual sea el pequeño abierto \(\omega\) y el pequeño intervalo \((T_1,T_2)\), somos capaces de llevar el estado al reposo (y, en particular, evitar la explosión) antes del instante \(T_2\); por el contrario, si sólo podemos asegurar lo que se afirma en el aptdo. 2 para algún \(a > 2\), en general no hay manera de impedir la explosión.
No sabemos qué ocurre cuando \(F(z) \sim z (\log(1 + z))^a\) cerca de \(+\infty\) con \(3/2 < a \leq 2\). Sin embargo, tenemos una indicación que parece sugerir que, para estos valores de \(a\), el sistema no es controlable, véase [7]; véase también [8] donde se prueban resultados parciales adicionales.
Para saber más: Algunas referencias
- W. Walter, Ordinary Differential Equations, Springer, 1998.
- C. Bandle, H. Brunner, Blowup in diffusion equations: A survey. Journal of Computational and Applied Mathematics 97 (1998) 3-22.
- V.A. Galaktionov, J.L. Vázquez, The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations. Discrete Contin. Dyn. Syst., 8(2): 399-433, 2002.
- A. de Pablo, R. Ferreira, F. Quirós, J.L. Vázquez, Blow-up. El problema matemático de explosión para ecuaciones y sistemas de reacción-difusión. Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no. 32 (2005), 75-111.
- E. Fernández-Cara, Null controllability of the semilinear heat equation, ESAIM: COCV 2 (1997) 87-107.
- E. Fernández-Cara, E. Zuazua, Null and approximate controllability for weakly blowing up semilinear heat equations. Ann. Inst. Henri Poincaré, AN 17, 5 (2000) 583?616.
- T. Duyckaerts, X. Zhang, E. Zuazua, On the optimality of the observability inequalities for parabolic and hyperbolic systems with potentials. Ann. I. H. Poincaré – AN 25 (2008) 1-41.
- K. Le Balc’h, Global null-controllability and nonnegative-controllability of slightly superlinear heat equations. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Volume 135, March 2020, Pages 103-139.