Solución: Números en la pizarra

Publicamos la solución al divertimento de los números en la pizarra. Muchas gracias a Miguel Adán Oliver, Renato Álvarez Rodríguez y Niurka Rodríguez Quintero, Anónimo17, F. Damián Aranda Ballesteros, Don Diedro y Don Pablo, Magdalena Jáñez Vaz, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco y Rubén Ríos Mallqui por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento

En una pizarra de un aula están escritos los números enteros \(1,2,\ldots,n\), para cierto \(n\geq2\). Al llegar allí, la profesora encargada de la clase comienza a borrar los números, pero de una manera concreta: borra dos cualesquiera, \(a\) y \(b\), y escribe \(a+b+ab\). Después de borrar \(n-1\) parejas de números solo queda uno. ¿Cuál es? ¿Podría ser un número par?

Solución

Llamemos \(a\odot b\) a la operación \(a\odot b=a+b+ab\). Claramente \(\odot\) es una operación conmutativa, y además es asociativa; es fácil comprobar que \((a\odot(b\odot c))=((a\odot b)\odot c)\). Por tanto, el último número que escriba la profesora será siempre el mismo, no importando el orden en el que escoja los números.

Si nos preocupamos por el valor de dicho resultado, en general se tiene que
$$a_1\odot\ldots\odot a_n=(a_1+1)\cdot\ldots\cdot(a_n+1)-1.$$
Esta igualdad se puede probar por inducción: el caso base (\(n=2\)) es la propia definición de \(\odot\) y, suponiendo la igualdad cierta para \(n=r-1\), si \(n=r\) tenemos, usando la asociatividad, que \(a_1\odot\ldots\odot a_r\) es
$$(a_1\odot\ldots\odot a_{r-1})\odot a_r=(((a_1+1)\cdot\ldots\cdot(a_{r-1}+1)-1)+1)(a_r+1)-1,$$
que es justo lo que queríamos comprobar. En conclusión, el último número presente en la pizarra es \((n+1)!-1\), que es siempre impar para cualquier entero positivo \(n\).

Sin saber el resultado final, ni siquiera la fórmula general de arriba, también es posible probar que solo podría obtenerse un número par si todos los números escritos en la pizarra lo fueran, puesto que \(a \odot b\) devuelve un número impar siempre y cuando \(a\) o \(b\) lo sean.