Publicamos la solución al divertimento de la segunda variación sobre el Hotel de Hilbert. Gracias a Pablo Cano y Juan Miguel Expósito por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Un hotel tiene infinitas habitaciones numeradas por todos los enteros positivos, de modo que la habitación \(n\) está en la misma planta que las habitaciones \(2n+1\) y \(3n-1\). ¿Cuántas plantas tiene el hotel?
(Nota: se pregunta por el número máximo de plantas.)
Solución:
El hotel tiene una sola planta. Como las habitaciones \(n\), \(2n+1\) y \(3n-1\) comparten planta, también lo harán con la habitación \(2(3n-1)+1=6n-1\). Pero como \(6n-1=3(2n)-1\), en la misma planta estará también la habitación \(2n\). Es fácil ver entonces que todas las habitaciones estarán en una única planta. Por ejemplo, si escribimos las habitaciones en binario, las habitaciones \(b_r\ldots b_11\) y \(b_r\ldots b_10\) estarán en la misma que la \(b_r\ldots b_1\) e, iterando el razonamiento, en la misma que la \(b_r=1\).
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