En la primera parte de esta entrada, narré cómo la ciencia dejó en evidencia a Auguste Comte cuando postuló la imposibilidad de conocer la composición química de las estrellas. Para compensar esa visión optimista de que la ciencia lo puede todo, consignaré aquí otro elegante ridículo sobre una predicción científica, en este caso fruto de un ciego optimismo. Su protagonista es el gran matemático David Hilbert (1862-1943).
Al contrario que Comte, Hilbert tenía una fe casi ciega en la capacidad humana para conocer a través de la reflexión racional. En 1930, Könisberg, la ciudad donde Hilbert había nacido 68 años atrás, le nombró ciudadano honorario con motivo de su jubilación. Hilbert dio un emotivo discurso donde defendió la idea de que no hay problemas irresolubles en ciencia: «En un esfuerzo por dar un ejemplo de problema irresoluble ―aseguró Hilbert―, el filósofo Comte dijo una vez que la ciencia nunca descubriría el secreto de la composición química de los cuerpos del universo. Unos pocos años después el problema fue resuelto. A mi modo de ver, la verdadera razón por la que Comte no pudo encontrar un problema irresoluble es que tal cosa no existe». Y añadió: «Wir müssen wissen, wir werden wissen», o sea, «Debemos saber, sabremos». Después Hilbert se fue a la radio local, donde iba a repetir para toda la ciudad la parte final de su disertación. Ante el micrófono en la soledad del estudio, pero con idéntica intensidad a la empleada momentos antes al calor de los congregados en la sala de conferencias, Hilbert declamó otra vez la última frase de su discurso: «Debemos saber, sabremos». Y después sonrió. Según Constance Reid, la biógrafa de Hilbert: «Si uno escucha muy cuidadosamente se puede oír al final la risa de Hilbert». Todavía se conserva una grabación con sus palabras, que se puede escuchar aquí (debo reconocer que por más que la he escuchado, no oigo al final la risa de Hilbert; tal vez el lector tenga más suerte).
Ante las paradojas que presuntamente afectaban a los fundamentos de las matemáticas aparecidas en el cambio del siglo XIX al XX, Hilbert había propuesto un ambicioso programa que pretendía establecer sistemas de axiomas para cada área de las matemáticas, a partir de los cuales se pudiera deducir mediante demostración rigurosa cualquier propiedad verdadera en esa área. Ese proyecto recibió el nombre de programa formalista. Con su afirmación, «Debemos saber, sabremos», Hilbert mostraba absoluta confianza en el éxito de su programa formalista; pocas frases sobre las matemáticas han sido tan inoportunas.
Hilbert pronunció su frase el 8 de septiembre de 1930 en Königsberg. Durante los tres días anteriores se había celebrado, precisamente en Königsberg, un congreso sobre epistemología de las ciencias exactas; el día 6 ―a las tres de la tarde para ser precisos―, el joven lógico austriaco Kurt Gödel ―24 años― había intervenido durante veinte minutos para comunicar un par de resultados que había obtenido en los meses anteriores, y al día siguiente en una mesa redonda afirmó: «Puedo dar ejemplos de proposiciones aritméticas verdaderas pero indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas». A pesar de su importancia, la frase pasó desapercibida para casi todos los asistentes, excepción hecha de John von Neumann. Von Neumann quedó muy impresionado con lo que aquel joven de veinticuatro años dijo que podía hacer; a partir de entonces fue uno de sus más fervientes admiradores. En 1931, Gödel publicó sus resultados de incompletitud bajo el título: Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y otros sistemas afines. Es, sin duda, el artículo más famoso jamás publicado sobre lógica matemática.
En primer lugar, Gödel demostró que los sistemas formales axiomatizados, a poco que sean suficientemente interesantes, como por ejemplo los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, o los de la teoría de conjuntos, son necesariamente incompletos, es decir, habrá fórmulas que, siendo propiedades verdaderas en los dominios que esos axiomas formalizan, no serán teoremas de ese sistema formal. O sea, partiendo de un grupo de axiomas, la corrección sintáctica no nos permitirá alcanzar todas las verdades posibles. Y sin posibilidad de arreglo: el problema no se resuelve añadiendo más axiomas, porque, se añadan los que se añadan, seguirá habiendo propiedades verdades indemostrables en el sistema formal. En segundo lugar, caso de que el sistema sea consistente ―no dé lugar a contradicciones―, esa será precisamente una de esas verdades indemostrables.
Lo que Gödel fue a explicar a Königsberg significaba la imposibilidad de culminar el programa formalista de Hilbert y suponía un golpe de muerte a esa frase tan hermosa, «Debemos saber, sabremos», que Hilbert pronunció en la misma ciudad y casi el mismo día.
Referencias
A.J. Durán, Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas, Destino, Barcelona, 2009.
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