En esta entrada y la siguiente volveremos a hablar de problemas inversos. Ya lo hicimos en varias anteriores, por ejemplo aquí: Matemáticas para no confundir un tumor con un coágulo en la cabeza de un tenista. Daremos más información sobre el contexto histórico, recordaremos algunas de sus innumerables aplicaciones y, en particular, hablaremos del famoso problema de Calderón, que ha motivado (y motiva aún) el trabajo de muchos investigadores.
Problemas directos y problemas inversos
Para mayor claridad, recordemos qué es resolver un problema directo de carácter general: disponemos de una colección de datos, con ellos llevamos a cabo argumentos y/o operaciones adecuadas que producen ciertos resultados y a partir de esos resultados obtenemos una información útil.
De este modo, podemos determinar por ejemplo la trayectoria \(x = x(t)\), \(y = y(t)\) de una partícula en el plano conociendo datos adecuados: su posición y velocidad iniciales (\((x_0,y_0)\) y \((x_1,y_1)\) en el tiempo \(t=0\)), su masa (\(m\)) y las fuerzas \(f = (f_x,f_y)\) que actúan sobre ella. Si aceptamos los postulados de la mecánica clásica, bastará resolver el sistema diferencial
donde \(\ddot x\) y \(\ddot y\) denotan las derivadas segundas respectivamente de \(x\) e \(y\). Una vez conocida la trayectoria, podremos obtener (por ejemplo) la posición de la partícula en el instante \(t=1\) (la información deseada).
Aquí se ve claramente que el proceso permite determinar el efecto (la posición en el tiempo final) a partir de las causas (los datos iniciales, la masa y las fuerzas).
En un problema inverso, la situación es más complicada y, con frecuencia, más interesante: conocemos solamente parte de los datos y también tenemos acceso a la información (generalmente, gracias a observaciones adecuadas); y la tarea consiste en determinar los otros datos.
En el ejemplo precedente, esta cuestión se plantea cuando, digamos, la velocidad inicial de la partícula es desconocida, en cambio conocemos \(m\), \(f = (f_x,f_y)\), \((x_0,y_0)\) y, además, somos capaces de detectar dónde se encuentra la partícula para \(t=1\). Estaríamos tratando en este caso de determinar las causas a partir del efecto.
En realidad, de una manera u otra, resolvemos problemas inversos todos los días. Por ejemplo, por la mañana, al asomarnos al balcón, somos capaces de saber si ha llovido o no en horas precedentes.
En el ámbito matemático, podemos aceptar que el primer problema inverso de la Historia fue resuelto por Thales de Mileto (aproximadamente 640-546 a. C): midiendo las longitudes de las sombras de un bastón y una pirámide proyectadas por el Sol, dedujo fácilmente la altura de la pirámide.
Por cierto, también se cuenta que un día, paseando por el campo, mirando al cielo y meditando sobre la estructura del universo, no vio un pozo que tenía delante y cayó dentro. Una mujer que pasaba por allí se rio de él y le preguntó por qué tenía tanto interés por saber qué ocurre en el cielo y desatendía lo que se hallaba justo a sus pies. Esta anécdota apareció en un diálogo platónico; fue re-escrita por Esopo y posteriormente por otros narradores, entre ellos Jean de La Fontaine.
Es conocido que los problemas inversos suelen estar mal planteados, es decir, o bien no poseen solución para toda elección de los datos, o bien esta no es única, o bien esta no depende continuamente de los datos.
Historia y aplicaciones
Como ejemplo histórico de problema inverso podemos citar el descubrimiento de Neptuno a partir de las perturbaciones observadas en la trayectoria de Urano.
El planeta Urano fue descubierto en 1781 por Herschel. Entre ese año y 1847, habiendo completado casi una órbita completa, se habían detectado irregularidades en su órbita que no se podían explicar, a menos que la acción de un planeta adicional estuviera perturbando la trayectoria. La verosimilitud de esta hipótesis fue demostrada por los astrónomos John Couch Adams (1819-1892) y Urbain Le Verrier (1811-1877) y fue confirmada poco después, por observación directa. De hecho, el descubrimiento de Neptuno llevó al descubrimiento de su luna Tritón por parte de Lassell solo diecisiete días después.
El matemático François Arago, por entonces director del Observatorio de París, dijo que «Le Verrier había descubierto Neptuno con la punta de su pluma».
Como detalle interesante, cabe destacar que Le Verrier interpretó que la anomalía en la órbita de Mercurio (el conocido avance de su perihelio) era también debido a un planeta no descubierto al que denominó Vulcano. Esto generó una confusión que solo acabó en 1915, cuando Einstein expuso la Teoría General de la Relatividad, que daba una explicación al fenómeno.
Ejemplos significativos de problemas inversos son los siguientes:
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La determinación de la distribución de masa a partir de la ley de la Gravedad de Newton y las observaciones realizadas por gravímetros en distintos lugares.
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La distribución de propiedades magnéticas de un medio a partir de las ecuaciones de Maxwell y mediciones del campo magnético en puntos distintos con ayuda de magnetómetros.
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El cálculo de las velocidades de onda y otras características geofísicas usando la ecuación de ondas y la información proporcionada por los sismógrafos.
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También, la determinación de los coeficientes de difusión de un producto, basada en la ecuación de difusión habitual (ecuación del calor) y los valores de la concentración en puntos distintos.
Esto da una idea de la enorme cantidad de aplicaciones relacionadas con los problemas inversos: los encontramos con frecuencia en multitud de áreas de la Física (Mecánica, Termodinámica, Electrónica, etc.), en Ingeniería (por ejemplo en el contexto de las prospecciones petrolíferas), en la industria, en Medicina, … También se usan de manera masiva en Meteorología, Oceanografía, para el tratamiento de imágenes, etc. Véanse [1-3] para más detalles.
En épocas recientes, se están incorporando técnicas de «machine learning» y asimilación de datos a la resolución de problemas inversos realistas; pueden consultarse a tal efecto [4-5].
Calderón
Alberto Calderón (1920-1998) está considerado uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. Trabajó en las universidades de Buenos Aires y Chicago. En ésta, desarrolló junto a Antoni Zygmund la teoría que lleva sus nombres, relativa a operadores definidos por integrales singulares.
Calderón se formó inicialmente en la ETH (Eidgenössische Technische Hochschule) en Zúrich y después en la Universidad de Buenos Aires, como ingeniero. A continuación, fue contratado por la compañía petrolera estatal, YPF (Yacimientos Petrolíferos Fiscales), como miembro del laboratorio de investigación de la división de geofísica. Fue precisamente allí donde concibió el problema inverso que lleva su nombre y que tanta investigación ha motivado hasta el día de hoy: colocado un medio en una región del plano o del espacio, determinar su conductividad eléctrica a partir de mediciones del potencial eléctrico y de la corriente generada sobre la frontera (véase la segunda parte de esta entrada para más detalles).
Algún tiempo después, habiendo ingresado como profesor en la Universidad de Buenos Aires, conoció a Zygmund (ya entonces un célebre matemático) en una visita de éste. De ese encuentro surgió una colaboración que le llevaría a Chicago y lo tendría durante más de treinta años produciendo resultados que abrirían vías diversas de máximo interés. Entre otras contribuciones, mencionemos las siguientes: el Lema de descomposición de Calderón-Zygmund, inventado para probar la continuidad de tipo débil de las integrales singulares de funciones integrables; el resultado de unicidad del problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales; la definición del proyector de Calderón y la reducción de los problemas de contorno para ecuaciones elípticas a ecuaciones integrales singulares en la frontera; el análisis de la integral de Cauchy en curvas Lipschitz-continuas, etc. Véase [6] para una selección significativa de sus trabajos.
Para saber más: la velocidad inicial a partir de la posición final
Volvamos al problema inverso descrito en la primera sección. Supongamos que las componentes \(f_x\) y \(f_y\) están dadas por
donde (por ejemplo) \(4a_i m – b_i^2 > 0\) para \(i = 1,2\) y \((x_0,y_0) = (0,0)\).
Entonces no es difícil reformular el problema inverso como un sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. En efecto, las soluciones del problema diferencial están dadas por
La única manera que tenemos de determinar estas constantes es imponinendo que los valores de \(x(1)\) e \(y(1)\) sean los deseados: \((x(1),y(1)) = (x_d,y_d)\). Pero, desgraciadamente, fijados \(x_d\) e \(y_d\), no siempre existen constantes \(C_1\) y \(C_2\) con esta propiedad. Por ejemplo, si tuviéramos \(4a_1 m – b_1^2 = 4 \pi m^2\) y fijáramos \(x_d \not =0\), no sería posible encontrar la constante \(C_1\).
Así, vemos que, ni siquiera cuando \(f_x\) y \(f_y\) son fuerzas «sencillas», determinar la velocidad inicial de una partícula que viaja desde el origen hasta un punto dado es un problema bien planteado.
Para una introducción a los problemas inversos, recomiendo la referencia [7], que corresponde a un curso impartido por Otared Kavian hace varios años en la Universidad de Sevilla.
Referencias
https://www.departement.math.uvsq.fr/pages-persos/kavian/ens
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