Publicamos la solución al divertimento de contar soluciones. Gracias a F. Damián Aranda, Rafael Benzal, Pablo Cano y Marcos Jiménez y Manuel Zambrana por las soluciones (valga la redundancia) que nos han enviado. Se ha recibido una solución parcial.
Divertimento:
En este divertimento nos preguntamos por el número de soluciones enteras no negativas que tiene la ecuación
$$x_1+\ldots+x_n=m,$$
siendo \(n\) y \(m\) enteros positivos.
Como aplicación (es decir, usando la fórmula obtenida), preguntamos cuántos números de cuatro cifras hay cuyos dígitos sumen \(11\).
Solución:
En lugar de considerar las soluciones de \(x_1+…+x_n=m\) no negativas, consideremos las soluciones de \(x_1+…+x_n=m+n\) positivas. Para ello, escribamos \(m+n\) unos con un hueco en medio, habiendo \(m+n-1\) en total. En cada hueco podemos poner un signo más o una coma, determinando cada suma entre comas una de las soluciones \(x_i\). Si queremos que haya exactamente \(n\) sumandos, debemos poner \(n-1\) signos más. Por tanto, tendremos \(\binom{m+n-1}{n-1}\) soluciones posibles.
Ahora, para cada solución de \(x_1+…x_n=m+n\) con los \(x_i\) enteros positivos, tomemos \(y_i=x_i-1\), obteniendo así una solución de \(y_1+…+y_n=m\) donde los \(y_j\) son naturales (ojo, estamos tomando el cero como natural; aquellos lectores incómodos con esta idea podrán leer el adjetivo como «enteros no negativos»). Recíprocamente, para cada solución de \(y_1+…+y_n=m\) con \(y_j\geq0\), tomemos \(x_i=y_i+1\), obteniendo así una solución de \(x_1+…+x_n=m+n\) con \(x_i\geq1\). Por tanto, el número total de soluciones es \(\binom{m+n-1}{n-1}\) también.
En la aplicación, si entendemos que el número de cuatro cifras se representa por \(x_1x_2x_3x_4\), pretendemos conocer las soluciones enteras de la ecuación
$$x_1+x_2+x_3+x_4=11,\quad 1\leq x_1\leq 9, \quad 0\leq x_2,x_3,x_4\leq9.$$
El cambio de variables \(y_1=x_1-1\), \(y_i=x_i\) para \(i=2,3,4\) nos permite construir la ecuación
$$y_1+y_2+y_3+y_4=10,$$
algunas de cuyas soluciones no negativas nos permiten obtener las soluciones de la ecuación pedida deshaciendo el cambio. No nos servirán para ello las soluciones en las que una incógnita valga \(10\), es decir, \((10,0,0,0), (0,10,0,0),(0,0,10,0),(0,0,0,10)\), ni tampoco aquellas en las que \(y_1=9\), que son \((9,1,0,0),(9,0,1,0),(9,0,0,1)\).
De este modo resulta que el número total de números de cuatro cifras cuyos dígitos sumen \(11\) es
$$\binom{10+4-1}{4-1}-4-3=286-7=279.$$
Como me imaginaba, había entendido el problema de modo distinto al que se traduce de la respuesta.
Sin embargo, en ese empeño en buscar la supuesta fórmula mágica que sirviese para cualquier situación que se nos plantee, obtuve una que se traduciría en lo siguiente (una vez que la he adaptado el sentido oficial del caso):
C (4,0) * C (14,3) – C (4,1) * C (4,3) – C (3,0) * C (13,2) + C (3,1) * C (3,2) = 1*364 – 4*4 – 1* 78 + 3*3 = 279
A continuación, la habilito para un sumatorio de 19, en las mismas condiciones, para su comprobación:
C (4,0) * C (22,3) – C (4,1) * C (12,3) – C (3,0) * C (21,2) + C (3,1) * C (11,2) = 1*1540 – 4*220 – 1* 210 + 3*55 = 615
Su utilidad es manifiesta si tenemos presente que no hace falta un recuento manual de esos supuestos que se ajustan al final y que las variables podrían haber sido más elevadas.
Nota: En ambos casos se trata de la traducción de una fórmula tipo sumatorio, de ahí que falten los sumandos cuyo resultado es cero.