Solución: Rompecabezas con signo

Publicamos la solución al divertimento del rompecabezas con signo. Se ha recibido una solución incompleta (Fernando Carreño Navas). En esta ocasión, la solución al divertimento también aparece en vídeo.

Divertimento:

Ana ha comprado un curioso rompecabezas. Consiste en un cuadrado con 25 piezas cuadradas que se pueden voltear, cada una con un signo más y un signo menos, uno en cada cara. El juego empieza con todos los cuadrados mostrando un \(+\), salvo uno, que está del revés, enseñando un \(-\). En cada turno se escoge un grupo de fichas que formen un cuadrado, de lados al menos dos y paralelos a los del tablero, y se cambian todos los signos de las piezas que lo formen. El objetivo es conseguir, en una cantidad finita de turnos, que todos los cuadraditos muestren un \(+\). Después de jugar algunas veces, Ana comprueba que parece que no es siempre posible, según dónde coloquemos al principio el signo menos. ¿En dónde lo podemos mostrar para que sí podamos ganar?

Solución:

Solo es posible ganar si es la pieza central la única que está volteada. En efecto, si el signo \(-\) se encuentra en dicho lugar, una sucesión de pasos para obtener todos los signos \(+\) sería voltear las piezas de los cuadrados de lados y centros respectivos \(3\) y \((3,1)\), \(3\) y \((1,3)\), \(2\) y \((1,1)\), \(2\) y \((4,4)\) y \(5\) y \((1,1)\), en ese orden.

Supongamos ahora que el \(-\) está en cualquier otro cuadrado, y consideremos la siguiente manera de marcar las piezas del tablero (una coloración):

\begin{array}{ccccc}
\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}\\
\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}\\
\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}&\text{x}
\end{array}

Cada vez que cambiamos los signos de las piezas de un cuadrado volteamos una cantidad par de casillas marcadas con una x. Por tanto, si el signo \(-\) estuviera en una de ellas, siempre habría una cantidad impar de dichos signos después de cada movimiento; en particular, nunca desaparecerían.

Esto deja como únicas posibilidades para el signo \(-\) las cinco casillas de la fila central. Ahora bien, si giramos el cuadrado anterior \(90\) grados, todas ellas salvo la \((3,3)\) estarían marcadas con una x, y podemos razonar de igual modo para demostrar que tampoco en ellas puede aparecer al principio el \(-\).