A lo largo las distintas entradas publicadas en esta sección hemos ido mostrando como las matemáticas constituyen el lenguaje necesario para entender el universo tal y como escribía explícitamente Galileo Galilei en El Saggiatore en 1623. Esa idea fue explotada al máximo por Isaac Newton con sus Principia Mathematica de 1687 quien, como ya comentamos, sentó las bases de un método que hoy día seguimos usando con un enorme éxito: lo que se ha venido a llamar el programa de Newton.
El éxito del programa de Newton consistente en explicar los fenómenos naturales usando el lenguaje matemático ha sido rotundo. Tras Newton un sinnúmero de científicos (pues muchos de ellos eran más que físicos o matemáticos) se lanzaron a usar las herramientas que este puso a su disposición: el cálculo diferencial e integral, o como también se le conoce: el cálculo infinitesimal. El cálculo infinitesimal descubierto (o desarrollado, como se prefiera) por Newton y Gottfried Leibniz (quien también lo descubrió de forma independiente) es la herramienta que permite lidiar con números infinitamente pequeños (pero distintos del cero) y es esencial para comprender el movimiento de los cuerpos. Gracias a las leyes de Newton podemos establecer las ecuaciones dinámicas que describen el movimiento de una partícula. ¿Y por qué necesitamos de ese nuevo cálculo? Para entenderlo vamos a considerar un problema muy sencillo: el movimiento de una partícula de masa \(m\) bajo la acción de una fuerza \(F\) que depende de la posición de la partícula (dos sistemas muy sencillos son el oscilador armónico simple o el movimiento de un planeta alrededor del sol). Por simplicidad imaginemos que la partícula se mueve en línea recta. La fuerza que actúa sobre la partícula es una función de la posición \(x\). La ecuación dinámica que describe el movimiento de la primera partícula nos la da la segunda Ley de Newton
$$ F(x(t))= m a(t) $$
Lo anterior nos dice que la aceleración \(a\) de nuestra partícula va a cambiar con la distancia, es decir en cada momento de tiempo tanto la distancia \(x\) como la aceleración \(a\) cambian. Ahora bien, como sabemos la aceleración y la posición de nuestra partícula no son cantidades independientes, hay una relación muy importante entre ellas. La aceleración es la derivada de la velocidad de la partícula y, por tanto, la segunda derivada de la posición. Así, si \(x(t)\) representa la posición de nuestra partícula en el instante de tiempo \(t\), entonces que la velocidad viene dada por la derivada de la función \(x(t)\) definida por la expresión (la notación \(\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}\) se la debemos a Leibniz)
$$ v(t)=\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\quad \mbox{y}\quad a(t)\displaystyle=\frac{d^2x(t)}{dt^2} =\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$$
De esta forma lo que obtendríamos es una ecuación diferencial, es decir una ecuación cuya incógnita es una función (y no un número)
$$ m\frac{d^2x(t)}{dt^2} = F(x(t))$$
Por ejemplo, en el caso del oscilador armónico la ecuación anterior tiene la forma \(\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x=0\), cuya solución dependerá de las condiciones iniciales \(x(t_0)=x_0\) y \(v(t_0)=v_0\) en el instante de tiempo \(t_0\).
En general si tenemos cierto número \(N\) de partículas en el espacio, estas van a estar gobernadas por un sistema de \(3N\) ecuaciones diferenciables de la forma
$$ m_k\frac{d^2 x_k}{dt^2}+F_{x,k}=0,\quad m_k\frac{d^2 y_k}{dt^2}+F_{y,k}=0, \quad m_k\frac{d^2 z_k}{dt^2}+F_{z,k}=0, $$
donde \(x_k,y_k,z_k\) son las corrdenadas de las posiciones de cada una de las partículas, \(k=1,2,\dots,N\) y \(F_{x,k}, F_{y,k}, F_{z,k}\), las correspondientes fuerzas en cada uno de los ejes. Esto es lo que se conoce en matemáticas como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Bajo ciertas hipótesis razonables se puede probar que, dadas las condiciones iniciales para nuestro sistema, es decir los valores \(x_k(0), y_k(0), z_k(0)\) y los de sus derivadas \(\frac{d}{dt}x_k(0), \frac{d}{dt}y_k(0), \frac{d}{dt}z_k(0)\), la solución es única. Es decir si conocemos el estado de un sistema en un momento dado (\(t=0\) en nuestro ejemplo) podemos saber lo que le ocurre al mismo en cualquier momento anterior o posterior. En palabras de Max Born en su discurso de aceptación del premio nobel (diciembre de 1954)
La Mecánica Newtoniana es determinista en el siguiente sentido: Si el estado inicial (posiciones y velocidades de todas las partículas) de un sistema se conoce de modo preciso, entonces el estado en otros instantes (antes o después) se puede calcular de las leyes de la mecánica. Todas las otras ramas de la física clásica han sido construidas de acuerdo a este modelo. El determinismo mecánico se convirtió gradualmente en una especie de artículo de fe: el mundo como una máquina, un autómata. En mi opinión esta idea no ha tenido antecedentes en la filosofía antigua y medieval. La idea es un producto del inmenso éxito de la mecánica newtoniana, particularmente en la astronomía. En el siglo XIX se convirtió en un principio filosófico básico para todas las ciencias exactas.
Esta idea no era nueva en la física. Varios físicos/matemáticos ya se habían hecho la misma pregunta. Precisamente Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), uno de los mejores matemáticos de finales siglo XVII y principios del XIX, demostró la estabilidad del sistema solar aplicando las leyes de Newton. Este problema traía de cabeza a los físicos desde Newton ya que en apariencia el movimiento de los planetas, en especial los de Júpiter y Saturno, se desviaba de lo que era esperable según la teoría newtoniana. Para forzar que todo estuviese en orden el propio Newton escribió (ver, por ejemplo, el final de la segunda edición de su Óptica de 1717, página 378, de la edición de 1952 de la Encyclopedia Britannica)
Porque mientras los cometas se mueven en órbitas muy excéntricas en toda clase de posiciones, el destino ciego nunca podría hacer que todos los planetas se movieran de la misma manera en órbitas concéntricos, excepto algunas irregularidades insignificantes, que pueden haber surgido de las acciones mutuas de los cometas y los planetas sobre sí mismos y entre sí, y que será apto para aumentar, hasta que este sistema necesite una reforma. [que en el contexto y por la forma que está escrito la reforma o corrección tendrá que venir de la mano de Dios]
Laplace demostró entre 1770-1790 que esas irregularidades eran periódicas y por lo tanto pasado cierto tiempo se repetirían las posiciones de los planetas, es decir el sistema solar era estable. Es decir, Laplace se convenció de que las ecuaciones de Newton podían perfectamente explicar de forma biunívoca cualquier fenómeno que podamos observar en la naturaleza. Ello le llevó a escribir en su famoso ensayo “Essai philosophique sur les probabilités” (ver las páginas 3 y 4 de la edición de 1812) lo siguiente:
Una inteligencia que, en un instante dado, conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza, y la situación respectiva de los seres que la componen, si en otra parte fuera lo suficientemente compleja como para someter estos datos al análisis, englobaría en la misma fórmula la movimientos de los cuerpos más grandes del universo y los del átomo más ligero: nada sería incierto para él, y el futuro, como el pasado, estaría presente a sus ojos.
Dicha inteligencia ha pasado a la posteridad con el nombre de demonio de Laplace. Hay abundante bibliografía sobre la posibilidad o no de que pudiese en nuestro Universo existir un demonio de Laplace, pero eso nos llevaría por derroteros alejados del propósito de esta entrada. De lo que no cabe duda, al menos con los datos y cálculos actuales, es que nuestro sistema solar es lo suficientemente estable. Una magnífica exposición del tema se puede encontrar en [1].
El problema subyacente que tenemos que tener en cuenta es la asunción de que podemos conocer todas las posiciones y velocidades de todas y cada una de las partículas que conforman en Universo, algo difícil de concebir como cualquiera puede imaginar, incluso en el caso de que nos restrinjamos a la física clásica (ya sabemos que el mundo atómico se rige por leyes muy distintas, las leyes de la mecánica cuántica donde en principio de incertidumbre de Heisenberg juega un papel fundamental).
Así pues, como Laplace, asumamos que es posible conocer el estado del Universo, es decir a priori podemos medir todas las posiciones y velocidades de todas las partículas del Universo, o de cualquiera de las magnitudes físicas que queramos medir. Para poder contrastar nuestros resultados teóricos con los observacionales lo único que necesitamos sería disponer de aparatos más y mas sofisticados. De hecho a finales del siglo XIX los físicos estaban convencidos de que el futuro de la física pasaría por poder medir con mayor precisión. Así, por ejemplo, James Clerk Maxwell (del que ya se habló aquí) en su conferencia introductoria de Física Experimental de 1871 afirmaba [2]:
Esta característica de los experimentos modernos, que consisten principalmente en mediciones, es tan prominente que parece haberse difundido la opinión de que en unos pocos años se habrán estimado aproximadamente todas las grandes constantes físicas y que la única ocupación que luego les quedará a los hombres de ciencia será continuar con estas mediciones aumentando su precisión a otro lugar de decimales.
Esta opinión se vería luego reforzada por las palabras del eminente físico experimental estadounidense A. A. Michelson quien en 1894 afirmó (Annual Register of the University of Chicago, 1896, pág. 159):
Si bien nunca es seguro afirmar que el futuro de la ciencia física no deparará maravillas aún más asombrosas que las del pasado, parece probable que la mayoría de los grandes principios subyacentes se hayan establecido firmemente y que los avances adicionales se busquen principalmente en la aplicación rigurosa de estos principios a todos los fenómenos que se nos presentan. Es aquí donde la ciencia de la medición muestra su importancia, donde el trabajo cuantitativo es más deseable que el trabajo cualitativo. Un físico eminente comentó que las verdades futuras de la ciencia física deben buscarse en el sexto lugar de los decimales.
Dicho físico eminente podría haber sido Lord Kelvin, del que ya hablamos aquí y aquí.
Sin embargo, un razonamiento muy simple nos permite descubrir que la situación es mucho más complicada de lo que suponía Laplace. Así continuaba Born su discurso de aceptación del premio nobel que ya comentamos antes:
Me pregunté a mi mismo si esto estaba realmente justificado. ¿Se pueden realmente hacer predicciones absolutas para todo momento en la base de las ecuaciones clásicas del movimiento? Se puede ver fácilmente, mediante ejemplos sencillos, que esto solamente ocurre cuando se da la posibilidad de una medida completamente exacta (de la posición, la velocidad u otras cantidades). Pensemos en una partícula que se mueve sin fricción en una línea recta entre dos paredes, en las que experimenta un choque completamente elástico. Se mueve con velocidad constante igual a su velocidad inicial \(v_0\) hacia adelante y hacia atrás, y se puede conocer de modo exacto donde estará en cualquier momento \(t\) si conocemos de modo preciso la velocidad \(v_0\). Pero si se permitiera una pequeña imprecisión en la velocidad \(\Delta v_0\), entonces la imprecisión en la predicción de la posición en cualquier instante sería \(\Delta v_0 t\) y aumentaría con el tiempo \(t\). Si uno espera suficiente tiempo, \(t_c=l/\Delta v_0\), entonces la imprecisión \(\Delta x\) se habrá convertido en la distancia total \(l\) entre las paredes. Por tanto, es imposible predecir nada acerca de la posición en un tiempo suficiente largo mayor que \(t_c\). Por tanto, el determinismo se convierte en indeterminismo desde el momento en que se permite la menor imprecisión en los datos de la velocidad.
En otras palabras, incluso en el caso más sencillo de un cuerpo que se mueve sin rozamiento entre dos paredes, la imposibilidad formal de medir su velocidad con precisión infinita nos lleva a la imposibilidad de saber donde se va a encontrar pasado un tiempo muy largo. Está claro que otra vez hemos topado con una cuestión filosófica para la que los argumentos físicos por si solos no son decisivos, tal y como el propio Born escribió en 1926 (y que ya citamos en una entrada previa).
Pero asumamos por un momento que somos capaces de medir con una precisión absoluta. Entonces ¿podríamos asegurar como Laplace que sabremos todo en todo momento? ¿Realmente las ecuaciones de Newton describen un mundo determinista?
Desgraciadamente la respuesta es negativa. Quien se encargó de demostrarlo fue otro gran matemático francés Jules Henri Poincaré (1852-1912), por muchos considerado el último matemático universal, un genio donde los hubo con impresionantes aportaciones en prácticamente todas las áreas de las matemáticas desde el análisis, la geometría, topología, el álgebra, etc.
La historia resumida es como sigue: Con motivo del 60 cumpleaños del Rey Óscar II de Suecia se abrió un concurso matemático como una de las muchas conmemoraciones del evento. Se suponía que se tenía que resolver un problema de cuatro problemas sugeridos en su mayoría por Karl Weierstrass. Uno de ellos justamente tenía que ver con la estabilidad del sistema solar de la que ya hablamos. Concretamente el problema era el siguiente:
Dado un sistema arbitrario de muchos puntos de masa que se atraen según la ley de Newton, bajo el supuesto de que dos puntos nunca colisionan, intente encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea una función conocida del tiempo y para todos cuyos valores la serie converja uniformemente.
En términos matemáticos la prueba de Laplace no pasaba el examen de rigor impuesto por Weierstrass. La razón fundamental se debía a que las soluciones de las ecuaciones de Newton no se podían resolver exactamente y los matemáticos/físicos lo que hacían era encontrar aproximaciones mediante series infinitas de las que se quedaban con los primeros términos. Como ejemplo de dichas series tenemos, por ejemplo, las siguientes
$$ 1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,\quad 1+x+2x^2+6x^3+\cdots+n! x^n +\cdots. $$
La primera de las series converge para todos los \(x\) reales, es una serie convergente, mientras que la segunda diverge para todo \(x\neq0\), es decir es una serie divergente. El problema matemático sobre la estabilidad quedaba entonces reducido, groso modo, a si la solución se expresaba como serie convergente o divergente. La razón es que para los cálculos era imposible considerar todos los términos de la serie (que son infinitos) por lo que se tomaban solo los primeros y se despreciaban los restantes. Este procedimiento es peligroso si no sabemos el carácter de la serie pues si bien para las series convergentes se sabe que adicionar términos consecutivos cambia muy poco el resultado final, no ocurre igual en el caso de las divergentes, donde la adición de varios términos conduce a sumas cada vez mayores.
Uno de los trabajos que recibió la comisión encargada de decidir quién se llevaba el generoso premio fue el del todavía joven matemático francés de 35 años Henri Poincaré pero que ya gozaba de cierto reconocimiento en su Francia natal (era profesor de la Universidad de Paris desde los 27 años). El trabajo se titulaba “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique” (Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica) y en él Poincaré desarrolla toda una teoría geométrica muy novedosa que le permite tener una idea global del problema y responder a la pregunta sobre la estabilidad y aunque en su artículo original enviado el mayo de 1888, por el que le concedieron el premio, se detectó un error, que luego el mismo corrige tras dos años de intenso trabajo y finalmente ve la luz en 1890, en la revista Acta Mathematica. El propio Weierstrass reconocía de esta forma el trabajo del matemático francés: No se puede considerar que este trabajo proporcione la solución completa de la cuestión propuesta, sin embargo, es de tal importancia que su publicación inaugurará una nueva era en la historia de la mecánica celeste.
El trabajo de Poincaré tenía una extensión de 270 páginas y tuvo una influencia en la física y las matemáticas comparable con el famoso tratado sobre el calor de 1822 de Joseph Fourier por la originalidad del mismo y todas las áreas nuevas que vieron la luz tras su publicación. En lo que nos ocupa en relación a nuestra entrada, la conclusión final de Poincaré no podía tener mayores repercusiones: sembró en el corazón de la mecánica newtoniana la incertidumbre que ya Heisenberg había implantado en la mecánica cuántica. En otras palabras el sueño determinista de Laplace era imposible. Que mejor forma de terminar esta entrada que con la descripción que hace del trabajo de Poincaré Ivars Peterson en su libro El reloj de Newton, Caos en el sistema solar [4]
Cualquier lector que se atreviera a desafiar su lenguaje difícil, estrategias no convencionales y complejidades desalentadoras experimenta un alucinante pero muy gratificante paseo por unas nuevas matemáticas con implicaciones sorprendentes para el modelado matemático de los fenómenos físicos. Con un efecto devastador, Poincaré demolió sistemáticamente la estructura que tanto apreciaba Weierstrass. Introdujo duda e incertidumbre donde el anciano (Weierstrass) había anticipado una solución matemática limpia que allanaría el camino a la certeza perpetua.
Y proseguía Peterson
Poincaré comenzó estableciendo que, aunque las ecuaciones que modelaban el movimiento de tres cuerpos que interactúan gravitacionalmente producen una relación bien definida, entre el tiempo y la posición, no existe un atajo computacional general -ninguna fórmula mágica- para hacer predicciones precisas de la posición en el futuro lejano. En otras palabras, las series que surgen de la teoría de perturbaciones suelen divergir. De hecho, había mucho sitio para lo impredecible en un sistema newtoniano, y la cuestión de la estabilidad no podía resolverse directamente examinando las series divergentes asociadas con las soluciones de las ecuaciones de movimiento del sistema solar.
Acababa de nacer la teoría del Caos (de la se habla un poco en esta otra entrada), y Poincaré fue sin duda el padre de la criatura, una teoría que queda magistralmente descrita con la pregunta con que el meteorólogo Edward Norton Lorenz titulo en 1972 con su célebre ceoferencia: ¿Puede una mariposa batiendo sus alas en Brasil producir un tornado en Texas? Pero esta es una historia para otra entrada.
Bibliografía:
[1] Laskar J. (2013) Is the Solar System Stable?. In: Duplantier B., Nonnenmacher S., Rivasseau V. (eds) Chaos. Progress in Mathematical Physics, vol 66. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0697-8_7 (ver https://arxiv.org/abs/1209.5996 )
[2] The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, ed. by W.D. Niven, vol. II (New York: Dover, 1965), pp. 241-255.
Para saber más sobre Laplace consultar
[3] Ana Rioja y Javier Ordóñez, Teorías del universo. Vol III, Ed. Síntesis, 2006 (sección 4.4 pág 211 y siguientes).
La historia del artículo de Poincaré está magistralmente narrada en
[4] Ivars Peterson, El reloj de Newton, Caos en el sistema solar, Alianza Editoarial, 1995 (capítulo 7).
[5] Sobre el problema de \(n\) cuerpos hay una magnífica entrada de Juan Arias en este mismo blog.
Comentarios finales:
El manuscrito de Poincaré corregido y reenviado el 1889 se puede descargar desde aquí.
La figura destacada está diseñada a partir de la figura 7 del manuscrito de Poincaré, un retrato de Laplace y una foto de Poincaré.
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