Solución: viaje de cumpleaños

Publicamos una solución corregida del divertimento El Viaje de Cumpleaños. Agradecemos a Abraham del Valle y a Jorge Santoro por las sugerencias que nos han hecho llegar en los comentarios al problema.

En esta ocasión, F. Damián Aranda Ballesteros, Juan Miguel Expósito, Rocío Goñi Villegas, Magdalena Jáñez, Agustín Martín Agüera, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco , Victoria Peña Blanco, Fernando Carreño, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Francisco Carlos Lorenzana han enviado soluciones correctas.

Divertimento:

Pepe y Pepa son padre e hija y él le dice a ella que ha reservado alojamiento en la ciudad de Numerón para pasar unos días, porque en una de esas fechas es su cumpleaños y quiere celebrar que ese día tendrá tres veces la edad de ella, la cual tendrá también ese día siete veces la edad de su hermano. «¿Y por qué quieres ir a ese país?», le pregunta ella. «Pues porque no quiero esperar a ser centenario para viajar a un país en cuyo sistema de numeración las dos edades, la que yo voy a cumplir, así como la tuya, se escriban con las mismas cifras que en nuestro país, pero en orden inverso». ¿Cuáles son las edades de Pepe y Pepa?

Nota: el inverso de un número con un único dígito es ese mismo número.

Solución:

Denotemos por \(x\) a la edad de Pepito. Según las condiciones del problema, las edades de Pepe y Pepa son \(21x\) y \(7x\), respectivamente. Como Pepe no es centenario, entonces \(21x < 100\), de donde \(x\) solo puede tomar los valores 1, 2, 3 o 4, lo que da como posibles soluciones
$$
(1,7,21), \qquad (2,14,42), \qquad (3,21,63), \qquad (4,28,84).
$$
Discutimos ahora, para cada uno de estos casos, la existencia de una base \(b\) en la que las edades de Pepe y Pepa se escriban con las mismas cifras pero en orden inverso.

(1) Si la edad de Pepito es \(x=1\), entonces las edades de Pepa y Pepe son, respectivamente, 7 y 21 años.
Como \(21=12_{(b)}\) entonces \(21=10b+2\), de donde la base es \(b=19\). La edad de Pepa también se escribe con los mismos dígitos enorden inverso, pues \(7=7_{(19)}\).

(2) Si la edad de Pepito es \(x=2\), entonces las edades de Pepa y Pepe son, respectivamente, 14 y 42 años.
No existe una base \(b\) tal que \(14=41_{(b)}\) y \(42=24_{(b)}\), pues de la primera igualdad se tiene que \(b<10\) y de la segunda que \(b>10\).

(3) Si la edad de Pepito es \(x=3\), entonces las edades de Pepa y Pepe son, respectivamente, 21 y 36 años.
De nuevo, de la condición \(21=12_{(b)}\) se sigue que \(b=19\). La edad de Pepe también se escribe con los mismos dígitos en orden inverso, pues \(63=3\cdot 19+6=36_{(19)}\).

(4) Si la edad de Pepito es \(x=4\), entonces las edades de Pepa y Pepe son, respectivamente, 28 y 84 años.
Como en el caso (2), no existe una base \(b\) tal que \(28=82_{(b)}\) y \(84=48_{(b)}\).

Por tanto, solo en los casos
$$(1,7,21), \qquad (3,21,63)$$
se cumple la condición de que las edades de Pepa y Pepe se escriben en orden inverso en la base de Numerón (\(b=19\)). Pero la afirmación de Pepe no quiero esperar a ser centenario para viajar a un país en cuyo sistema de numeración las dos edades, la que yo voy a cumplir, así como la tuya, se escriban con las mismas cifras que en nuestro país, pero en orden inverso nos lleva a eliminar las soluciones en las que, pasada una cierta cantidad de años, se vuelve a dar esa circunstancia (antes de que Pepe cumpla 100).

(a) En el caso \((3,21,63)\), cuando hayan pasado 21 años, Pepe tendrá \(84=4\cdot 19+8=18_{(19)}\) años y Pepa tendrá \(42=2\cdot19+4=24_{(19)}\) años. Por tanto esta solución no es válida.

(b) En el caso \((1,7,21)\), hay varios momentos en los que la edad de Pepe se escribe con las mismas cifras pero en orden contrario en base 19:

(b.1) A los 21 años, de modo que Pepe tiene \(42=24_{(19)}\) años. En ese momento, Pepa tendrá \(28=19_{(19)}\) años.

(b.2) A los 42 años, de modo que Pepe tiene \(63=36_{(19)}\) años. En ese momento, Pepa tendrá \(49=2(11)_{(19)}\) años.

(b.3) A los 63 años, de modo que Pepe tiene \(84=48_{(19)}\) años. En ese momento, Pepa tendrá \(70=3(13)_{(19)}\) años.

Por tanto, la única forma en que las edades de Pepe y Pepa se escriban simultáneamente con las cifras en orden inverso en base 19 y no se repita esta circunstancia antes de que Pepe cumpla 100 años es que Pepe tenga 21 años, su hija Pepita tenga 7 y el hermano de ésta tenga 1 año. Las edades son tan poco habituales para una familia como la elección del sistema de numeración en Numerón.