Solución: Factoriales

Publicamos la solución al divertimento Factoriales. Juan Manuel Valderas Jaramillo, Floro Damián Aranda Ballesteros, Rafael Benzal, Fernando Carreño Navas, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, José Fernando López Blázquez y Agustín Martín Agüera han enviado soluciones correctas.

Divertimento:

Hay cuestiones de Matemáticas que pueden sorprender si se preguntan de forma distinta a la habitual. Así, puede dar qué pensar la pregunta: ¿Es el producto de \(n\) números consecutivos siempre múltiplo de \(n!\)?, cuando en realidad el cociente de esas cantidades es \(\binom{n}{k},\) que es evidentemente entero. Pues hablando de factoriales, preguntamos en este divertimento si es siempre entera la expresión

$$\frac{(2n)!}{(n+1)(n!)^2}$$

o si depende del valor de \(n\).

Solución:

Se tiene que

$$ \frac{(2n)!}{(n+1)(n!)^2}=\frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}= \frac{(2n)!(n+1)}{(n+1)!\,n!}-\frac{(2n)!n}{(n+1)!\,n!}.$$

Tanto el primer como el segundo término en la diferencia anterior son números combinatorios:

$$ \frac{(2n)!(n+1)}{(n+1)!\,n!} = \frac{(2n)!}{n!\,n!} = \binom{2n}{n}, \qquad  \frac{(2n)!n}{(n+1)!\,n!}=\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}=\binom{2n}{n+1}$$

Por tanto, la expresión propuesta es siempre un número entero.