Publicamos la solución al divertimento de la tercera variación del hotel de Hilbert. Muchas gracias a Fernando Carreño, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos y Victoria Peña por las soluciones que nos han enviado. F. Damián Aranda nos ha enviado una solución incompleta.
Divertimento:
Un hotel tiene infinitas habitaciones numeradas por todos los enteros positivos, de modo que la habitación \(n\) está en la misma planta que las habitaciones \(2n+1\) y \(8n+1\). ¿Cuántas plantas tiene el hotel?
(Nota: se pregunta por el número máximo de plantas.)
Solución:
El hotel tiene infinitas plantas. Vamos a escribir los números de las habitaciones en binario. En ese caso, cada habitación \(b_r\ldots b_0\) (donde los \(b_i\) son cero o uno) comparte planta con las habitaciones \(b_r\ldots b_01\) y \(b_r\ldots b_0001\). De igual modo, la habitación \(b_r\ldots b_000\) comparte planta con la \(b_r\ldots b_0\), porque ambas lo hacen con la \(b_r\ldots b_0001\).
Nos debemos fijar por tanto en una habitación cuyo número \(n\) sea el doble de un impar, es decir, que su representación binaria acabe en \(10\). Si hubiera otra habitación de menor número en su misma planta, sería porque mediante adiciones y sustracciones de \(1\) y \(001\) a la derecha podríamos llegar de una a otra. Sin embargo, cualquier combinación de esas operaciones solo cambia los ceros al final en una cantidad par, así que la \(n\) es la habitación con el menor número de su planta. En conclusión, el hotel tiene infinitas plantas, de las que las habitaciones con el menor número son la \(1\), la \(2\), la \(6\), etc.
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