Publicamos la solución al divertimento del reparto de libros. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Pablo Cano, Fernando Carreño, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
El propietario de una librería decide regalar a sus tres sobrinos estuches de libros. Se trata de diez estuches de libros de ciencia ficción, con tres libros cada uno; diez estuches de novela clásica, con dos libros cada uno; y diez estuches conteniendo cada uno un libro de poesía. Los sobrinos acuerdan hacer un reparto de modo que todos reciben el mismo número total de estuches y de libros, al menos un estuche de cada tipo y no más de la mitad de los estuches de un mismo tipo. Por supuesto, el reparto se hizo sin abrir los estuches.
¿Cómo se llevó a cabo el reparto?
Nota: Los estuches son distinguibles pero indivisibles, es decir, no se puede dividir su contenido para hacer el reparto pero sí se sabe de qué tipo es cada uno.
Solución:
En una primera versión del divertimento, la cantidad de sobrinos era indeterminada. Algunos de nuestros avezados lectores hallaron todos los repartos posibles, incluyendo números distintos de sobrinos. Detallaremos aquí el caso de tres sobrinos y comentaremos las posibilidades para otras cantidades.
Sean pues \(X_n\), \(Y_n\) y \(Z_n\) los números de estuches de ciencia ficción, novela clásica y poesía, respectivamente, que recibe el sobrino \(n\), con \(n = 1,2,3\). Por las condiciones del enunciado, todos son positivos y menores o iguales que \(5\). Se tiene además lo siguiente:
- Número de estuches del lote: \(X_n+ Y_n+ Z_n=10\).
- Número de libros del lote: \(3X_n+ 2Y_n+ Z_n=20\).
Restando la primera ecuación a la segunda, obtenemos que \(Y_n+2X_n=10\), y sustituyendo en la primera el valor de \(Y_n\), llegamos a que \(X_n=Z_n\). Por otra parte, \(Y_n\) debe ser par, así que necesariamente tiene que ser \(2\) o \(4\).
Como \(Y_1+Y_2+Y_3= 10\), la única combinación posible para las \(Y_n\) es \(2, 4, 4\). Por consiguiente, los repartos \((X_n,Y_n,Z_n)\) deben ser de la forma \((4,2,4)\) o \((3,4,3)\), habiendo dos de ese último tipo.
Dado que cada sobrino recibe la misma cantidad de estuches, el reparto solo es posible para 2, 3, 5, 6 o 10 sobrinos. Un análisis de las posibilidades similar al caso anterior (o más fácil aún) revela que los repartos posibles son:
$$\begin{array}{cc}
\text{Sobrinos} & \text{Reparto}\\
2 & 2\times(5,5,5)\\
3 & 1\times(4,2,4), 2\times(3,4,3)\\
5 & 5\times(2,2,2)\\
6 & 2\times(1,3,1), 4\times(2,1,2)\\
10 & 10\times(1,1,1).
\end{array}$$
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