Solución: venta de la pirámide

Publicamos la solución al divertimento Venta de la Pirámide. En esta ocasión, Pablo Cano Wall, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco nos han enviado soluciones acertadas.

Divertimento:

El Faraón de Egipto, en una situación económica difícil, decidió reflotar su economía vendiendo la Gran Pirámide a una moneda de oro por unidad cúbica de volumen. El Emperador de Etiopía, que siempre había querido tener una pirámide, envió unos asesores para verificar las mediciones. Pero la unidad de medida de longitud era un bastón que tenía la longitud del brazo del mandatario, y el Emperador tenía el brazo más largo que el Faraón, con lo que las medidas salían diferentes y esto originó muy serias discusiones diplomáticas sobre el precio.

Se decidió finalmente someter la cuestión al Rey de los Babilonios y aceptar su dictamen. El Rey recogió las unidades de longitud de egipcios y etíopes y comprobó que la diferencia entre la longitud de su brazo y la del Faraón (que era menor) era igual a la diferencia entre la longitud del brazo del Emperador (que era mayor) y la suya. De modo que escribió a ambos soberanos indicándoles, “que ya que su bastón es la media entre los bastones de ambos, esa es la que debe tomarse como medida.”

Con este dictamen, volvieron a reunirse los asesores y uno de los del Faraón indicó que para cumplir la voluntad del Rey bastaba con calcular la media de los volúmenes que ya tenían. ¿Deberían aceptar los asesores del Emperador esta sugerencia?

Solución:

Denotemos por \(a\) y \(b\) a las longitudes de la altura y de la base de la pirámide, en metros. Tomemos como unidad de longitud un palo de \(x\) metros. Denotemos por \(\alpha\) y \(\beta\) a las longitudes de la altura y la base de la pirámide en «unidades de palo», es decir, \(a = \alpha x\) y \(b = \beta x\). El volumen de la pirámide en unidades de palo es igual a
$$
V = \frac{1}{3} \alpha \beta^2  = \frac{1}{3} \frac{a}{x} \left(\frac{b}{x}\right)^2  = \frac{ab^2}{3} \frac{1}{x^3}
$$
Esta expresión coincide con el precio en monedas de oro en función de la longitud del palo:
$$
P(x)= \frac{ab^2}{3} \frac{1}{x^3}
$$

Sean \(x_1\) y \(x_2\) las longitudes del brazo del faraón y del emperador de Etiopía, con \(x_1 < x_2\). El faraón pretendía vender la pirámide por \(P(x_1)\) monedas de oto, y el emperador comprarla por \(P(x_2)\), con \(P(x_1) > P(x_2)\). El rey de Babilonia propone que se venda por valor igual a \(P( (x_1+x_2)/2 )\). Por la convexidad de \(P\) se tiene que \((P(x_1) + P(x_2))/2 > P( (x_1+x_2)/2 )\).

Por tanto: al faraón le conviene cerrar el trato tomando la media de los precios, y al emperador le conviene comprar tomando el precio de la media, y rechazar la propuesta del faraón.