Solución: Venta de sellos

Publicamos la solución al divertimento Venta de sellos.

En esta ocasión, F. Damián Aranda Ballesteros, Fernando Carreño, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín Agüera, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz y Javier Ribelles y Carmen Zuleta han enviado soluciones acertadas.

Se han recibido soluciones parciales.

Divertimento:

Un tío y un sobrino, propietarios de una modesta colección de sellos no muy antiguos, desean deshacerse de ellos y venderlos todos. Acuerdan repartirse a partes iguales lo que le ofrezcan por ellos, y piden por cada uno la misma cantidad en euros que indica el número total de sellos de la colección.

Para hacer mejor el reparto le piden al comprador que abone la cantidad total solo en billetes de 10 euros, más un pico aparte en euros sueltos, que es inferior a 10. Hacen el reparto de la siguiente manera: empezando por el tío y siguiendo por el sobrino, y repitiendo sucesivamente la operación, cada uno de ellos coge un billete de 10 euros hasta llegar al último billete de 10 euros, que lo coge el tío, mientras que el sobrino recoge el pico. Sin embargo, una vez realizado el reparto, el sobrino le comenta a su tío que eso no ha sido justo, puesto que él ha recibido menos que él.

“Tienes razón”, le responde el tío, «pero no te preocupes. Toma estas monedas de un euro que te doy y ahora las partes ya son iguales.»

¿Cuántas monedas tuvo que darle el tío al sobrino?

Solución:

Llamemos \(n\) al número de sellos de la colección. El precio a pagar por el comprador es \(n^2\). Del enunciado del problema se deduce que el número de billetes de 10 euros es impar, habiendo recibido un importe de \(2 p + 1\) billetes y un pico de \(a\) euros \((a < 10)\), es decir,

$$n^2 = (2 p + 1) \cdot 10 + a.$$

Si \(n = 10 x + y\), con \(y < 10\), se tiene que

$$n^2 = x^2 \cdot 100 + 2 x \cdot 10 \cdot y + y^2 = 2 \cdot10 (5 x^2 + xy) + y^2.$$

Como \(n^2\) cuenta con un número impar de decenas, lo mismo debe ocurrirle a \(y^2\). Ahora bien, los únicos cuadrados de un número inferior a 10 en decenas impares son 16 y 36. Por tanto, en cualquier caso, el número de unidades de \(n^2\) es \(6\). Así, el tío habría obtenido en el reparto \(10 – 6 = 4\) euros más que el sobrino. Por tanto, en ambos casos puede igualar el reparto dándole al sobrino \(2\) euros.