Publicamos la solución al divertimento del divisor en cualquier base. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Alejandro Bandera, Pablo Cano, Fernando Carreño, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos, Julio Ojeda y Pablo Puerto y Javier Ribelles y Carmen Zuleta de Reales por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Dos aficionados a los juegos matemáticos deciden retarse el uno al otro proponiéndose problemas entre sí. El primero le dice al segundo: “en un sistema de numeración cuya base sea mayor o igual que cinco, el número que se escribe \(40301\) tiene siempre un divisor que se escribe siempre de la misma manera. ¿Puedes indicarme cuál es ese divisor?”
A su vez, el amigo interrogado le responde: “por supuesto, es muy sencillo, ahora mismo te lo digo, pero aprovecho para preguntarte yo a ti ahora lo siguiente: si se toma como base el número de la puerta de mi casa, el cociente de ese número que tú has dicho, \(40301\), entre el divisor por el que tú me has preguntado, es \(181\). ¿Puedes decirme en qué número de la calle vivo yo?”
¿Puedes jugar tú, lector, con ellos y responderle a cada uno lo que han preguntado?
Solución:
Si llamamos \(b\) a la base de numeración, se tiene que
$$40301_b = 4 b^4 + 3 b^2 + 1 = (2 b^2 + b + 1) (2 b^2 – b + 1).$$
Entonces, \(2 b^2 + b + 1\), que se escribe \(211_b\) en esa base, es el divisor buscado. (Como nuestros lectores han deducido, nos referíamos a los divisores no triviales, es decir, distintos de \(1\) y el propio \(40301\).)
En cuanto a la segunda cuestión, sabemos que el cociente será siempre \(2 b^2 – b + 1\), que puede escribirse de la forma \(b^2+ (b – 1) b + 1\), es decir, tendría los dígitos \(1,\, b-1,\, 1\), en ese orden. Si el cociente es \(181_b\), entonces la base de numeración \(b\) y, por consiguiente, el número de la casa donde vive el segundo amigo, es \(9\).
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