El paraíso de Cantor

Estaba Dios con los justos a su derecha y sintió un vacío a su izquierda. No es bueno que estemos aburridos. Hagamos el Paraíso de Cantor.

Y miró a su izquierda y no vio nada
$$\mskip -100mu \emptyset.$$
Y lo llamó \(0\) y pasó un día y una noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-100mu \{\emptyset\}.$$
Y lo llamó \(1\) y pasó otro día y otra noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-100mu\{\emptyset, \{\emptyset\}\}.$$ Y lo llamó \(2\) y pasó otro  día y otra  noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-50mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\,\}.$$ Y lo llamó \(3\) y pasó otro  día y otra  noche.

Volvió a mirar al día siguiente y vió
$$\mskip-20mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\,
\{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}\,\}.$$ Y lo llamó \(4\) y pasó o otro  día y otra  noche.

$$\dots$$

 

 

Y vio Dios todo lo que había hecho y he aquí que era bueno en gran manera. Y Kronecker fue feliz.

Había creado a los números naturales, y llamando  a Kronecker a una peña, le dijo:

—Esto no ha terminado, mira
$$\mskip-200mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\,
\{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}, \dots\}.$$
Y lo llamó \(\omega_0\) y pasó otro día y otra noche.

Y al día siguiente, volvió a mirar
$$\mskip-200mu \{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset, \{\emptyset\}\},\,
\{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}, \dots, \omega_0\}.$$
Y lo llamó \(\omega_0+1\) y pasó otro día y otra noche.

Y observó Dios que \(1+\omega_0=\omega_0\ne \omega_0+1\).

Pasaron muchos días, muchos, innumerables. Y todavía continuaba Dios su
obra. El primer día innumerable pudo ver un conjunto increíble
$$\mskip-200mu\omega_1=\{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset,
\{\emptyset\}\},\, \{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},
\dots, \omega_0, \dots\},$$ que ningún mortal puede nunca conocer verdaderamente.

Y Cantor fue feliz.

 

Miró Dios su obra, y llamando a Cantor a una peña le dijo:

DIOS: Estos son los ordinales. Ellos serán la piedra angular sobre la que construiré tu Paraiso.

CANTOR: ¿Cuándo podré verlo?

DIOS: En cuanto acabe con los ordinales.

CANTOR: ¿Puedes hacerlo?

DIOS: ¿Cómo dudas? Aquí los tienes:
$$\Omega$$

Miró Cantor y dijo:

CANTOR: Pero…  ¡yo veo algo más! ¿No te olvidaste del \(\Omega+1\)?
$$\mskip-200mu\{\emptyset,\,\{\emptyset\},\, \{\emptyset,
\{\emptyset\}\},\, \{\emptyset,\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\},
\dots, \omega_0, \dots, \Omega\},$$

$$*\qquad*\qquad*$$

Y todo fue confusión.

Notas:

En el mito de la creación Dios crea a partir de la nada. En la matemática actual todo se reduce a conjuntos que se construyen a partir de la nada. Aquí ilustramos la paradoja de Burali Forti y la definición de von Newman de número ordinal. Kronecker decía que los números naturales eran creación de Dios y que todo lo demás era obra del hombre. En el jardín del edén tenían prohibido comer del árbol de la vida en medio del huerto y del árbol de la ciencia del bien y del mal. Cantor mirando \(\Omega\) transgrede esta prohibición, por esto el paraíso queda destruido, a pesar de las palabras de Hilbert: Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros.

En el Génesis Dios descansa al séptimo día. Aquí no vemos a Dios descansar, si acaso cinco minutos cuando termina los naturales.