Publicamos la solución al divertimento del barco del arroz. Muchas gracias a F. Damián Aranda Ballesteros, D. Diedro y D. Pablo, Juan Miguel Expósito, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz y Rubén Ríos Mallqui por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento
Un tío y su sobrina tienen la siguiente conversación en la bodega de un barco:
– Sobrina, ¿ves esos tres barriles en el rincón? Cada uno tiene una cantidad entera de kilos de arroz distinta de las otras. El que tiene más arroz lleva cinco veces la cantidad de arroz que el que tiene menos. Y si a cada barril le añadiera un saco de arroz como este que tengo aquí, el cociente entre los kilos que habría en el barril grande y en el pequeño sería un número entero, que además coincidiría con el cociente entre los kilos de arroz que contendrían los tres barriles juntos y los que contienen ahora.
– No me apetece mucho resolver un problema ahora -le interrumpe la sobrina.
– Pues ayúdame a llevar los barriles escaleras arriba. Venga, que no van a subir solos.
– Este… casi que prefiero el problema. Pero creo con los datos que me das no se puede resolver.
– No corras tanto, que no me has dejado acabar. En total, los tres barriles tienen entre \(100\) y \(115\) kilos de arroz. A ver si averiguas cuánto arroz cabe en el saco.
Solución
– A ver, tío, te propongo lo siguiente:
Sean \(G\), \(M\) y \(P\) los kilos de arroz que contienen los barriles, con \(G>M>P\). Se tiene que \(G=5P\). Denotemos por \(x\) a la cantidad de kilos que cabe en el saco y por \(S\) a la suma \(S=G+P+M\). Se tiene que
$$\frac{5P+x}{P+x}=y, \qquad \frac{S+3x}{S}=y, \qquad y \in \mathbb{Z}.$$
Vamos a expresar \(P\), \(M\) y \(G\) en función de \(y\) y de \(S\). De la segunda relación se tiene que
$$x=\frac{S(y-1)}{3}.$$
Sustituyendo en la primera y despejando, se obtiene que
$$P=\frac{S(y-1)^2}{15-3y}$$
y, por tanto,
$$G=5P = \frac{5S(y-1)^2}{15-3y}.$$
Por último, se tiene que
$$M=S-G-P = S-6P = \frac{S(-2y^2+3y+3)}{5-y}.$$
Veamos ahora que el único valor posible para \(y\) es \(y=2\). Como
$$\frac{S+3x}{S}=y,$$
entonces se tiene que \(y>1\), pues \(x >0\). Por otra parte,
$$y=\frac{5P+x}{P+x} < \frac{5P+5x}{P+x}=5.$$
Por tanto, tenemos que \(y=2\), \(y=3\) o \(y=4\). Pero los casos \(y=3\) e \(y=4\) dan valores negativos de \(M\), así que la única posibilidad es \(y=2\). En consecuencia,
$$G=\frac{5S}{9}, \qquad P=\frac{S}{9}, \qquad M=\frac{S}{3}.$$
Como \(P\) es un número entero, entonces \(S\) es divisible por \(9\). Y como además \(100 \leq S \leq 115\), se deduce que \(S=108\). En conclusión,
$$x=\frac{S(y-1)}{3} = \frac{108}{3}=36.$$
– Muy bien, sobrina, es correcto. Venga, vamos a subir los barriles ya, que se está haciendo tarde.
– Pero…
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