Solución: Proyectos del Ministerio

Publicamos la solución al divertimento de los proyectos del Ministerio. Muchas gracias a F. Damián Aranda Ballesteros, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco, Julio Ojeda Infantes y Pablo Puerto Muñoz y Rubén Ríos Mallqui por las soluciones que nos han enviado. Se ha recibido una respuesta parcial, de Rafael Benzal.

Divertimento

A los proyectos de investigación de cierto departamento de cierta universidad les ha sobrado algo de dinero del concedido en un proyecto del Ministerio. Como a final de año deben devolver dicho remanente (y pueden ver reducida su financiación en convocatorias posteriores), deciden gastarlo íntegramente, y en libros. Resulta que, para conseguir gastar exactamente todo el dinero, pueden elegir entre:

• Comprar cierta cantidad de ejemplares de tapa blanda.
• Comprar cierta cantidad de ejemplares de tapa dura.
• Comprar varios ejemplares de tapa dura y varios de tapa blanda, de 5 formas distintas.

Los precios de los libros de tapa blanda y dura son 19 y 31 euros, respectivamente. ¿Cuál es la cantidad que les faltaba por gastar?

Solución

Sean \(x\) e \(y\), respectivamente, la cantidad de libros de tapa blanda y de tapa dura que se compran, con coste total igual a \(C\), de modo que \(19x+31y=C\).

Como es posible gastar la cantidad \(C\) solo con libros de uno de los dos tipos, entonces \(C\) es divisible por \(19\) y por \(31\). Sea \(C=19 \cdot 31 \cdot C’\). Por consiguiente,

$$19x+31y=19 \cdot 31 \cdot C’.$$

Como \(19\) y \(31\) son primos, se deduce que \(x\) es divisible por \(31\) e \(y\), por \(19\), y podemos escribir

$$19\cdot 31 x’+31\cdot 19 y’=19 \cdot 31 \cdot C’,$$

es decir, \(x’+y’=C’\), siendo \(x’\) e \(y’\) enteros no negativos cualesquiera. Según el enunciado, hay siete soluciones \((x’,y’)\) para la ecuación anterior: una en la que \(x’=0\), otra en la que \(y’=0\), y otras cinco en las que \(x’\) e \(y’\) son positivos. Se deduce entonces que \(C’=6\), y por tanto,

$$C=31 \cdot 19 \cdot C’ =31 \cdot 19 \cdot 6=3534.$$