Desde que a mediados del siglo XVI se encontraron fórmulas explícitas para la resolución de las ecuaciones cúbica y cuártica, el mayor objeto de deseo algebraico fue encontrar una fórmula que permitiera resolver la ecuación de quinto grado, y las de grados mayores, en términos de los coeficientes. Ese objeto de deseo, sin embargo, iba a tardar en lograrse casi tres siglos y lo encontrado distaba mucho de lo que inicialmente se pensaba que se iba a obtener.
Porque, inicialmente, se daba por supuesto que, al igual que ocurría con las ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grados, la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación a partir de los coeficientes existía, aunque podría ser una muy complicada combinación de operaciones algebraicas –incluyendo la extracción de raíces de grado cada vez mayor– y, quizá por eso, se resistía tanto a ser encontrada.
Los trabajos de Joseph Louis Lagrange (1736-1823) iban a cambiar esencialmente esa situación en el último tercio del siglo XVIII -(sobre Lagrange véase: Doscientos diez años sin Lagrange). La clave, para Lagrange, estaba en el estudio de las permutaciones entre las soluciones de la correspondiente ecuación –algo que también apuntó, de forma menos clara y no tan elaborada, el violinista, químico y matemático francés Alexandre Vandermonde (1735-1796)–.
Pensemos en las cuatro raíces \(x_1, x_2, x_3, x_4\), del polinomio de cuarto grado \(p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\). Obviamente, si permutamos las raíces entre sí, el polinomio no varía, y en consecuencia tampoco sus coeficientes, que son los datos que conocemos para calcular las raíces. Consideremos ahora el caso particular cuando \(x_1=x_2\); es decir, el polinomio anterior tiene dos raíces iguales. En este caso, las permutaciones que intercambien la raíz \(x_1\) con la \(x_2\), o dejan invariante a \(x_1\) y \(x_2\), tendrán especial relevancia para ese polinomio, puesto que respetan esa característica particular de tener dos raíces iguales. Ahora bien, el conjunto de todas las permutaciones de un número fijo de elementos tiene una estructura matemática muy especial, a la que hoy llamamos «grupo»; se caracteriza porque dos permutaciones se pueden combinar para obtener otra permutación –aunque esta combinación no es conmutativa: importa el orden en que se hace–, y porque para cada permutación existe otra que deshace lo que hace la primera, dejando los elementos igual que estaban. Si de todas las permutaciones consideramos el conjunto de aquellas que intercambian dos elementos prefijados o dejan estos dos elementos invariantes, este conjunto repite la misma estructura de grupo, por lo que se llama un subgrupo del grupo de permutaciones. Al grupo de permutaciones que se puede realizar con un conjunto de elementos se le llama el grupo simétrico, porque cada permutación establece una especie de simetría entre sus elementos.
Lagrange fue el primero en darse cuenta de la importancia que el grupo de permutaciones asociado a una ecuación polinómica y la estructura de sus semigrupos tenía para la resolución de la ecuación. Lagrange no usó el nombre de «grupo», ni aisló las propiedades esenciales que lo definen, pero para el caso de las permutaciones sí obtuvo algunos resultados de carácter general, como el hecho de que el número de elementos de un subgrupo de permutaciones divide al número de elementos del grupo. Lagrange también estudió la relación entre dos funciones \(f(x_1,x_2,…,x_n)\) y \(g(x_1,x_2,…,x_n)\) de las raíces de un polinomio de grado \(n\), sabiendo cómo se comportan cuando se permutan las raíces.
Esta nueva perspectiva permitió a Lagrange un análisis muy detallado de los casos conocidos de segundo, tercer y cuarto grado; en particular, le permitió explicar cómo encontrar el camino que lleva a las misteriosas fórmulas que resolvían las ecuaciones. Pero cuando Lagrange aplicó su método a la ecuación de quinto grado, lo que obtuvo fue algo increíblemente complicado, sin indicación alguna de cómo llegar a la solución. Eso le llevó a concluir que, muy posiblemente, a diferencia de lo que ocurría con grados menores, no había una fórmula algebraica para resolver la quíntica.
Casi treinta años después, el médico, filósofo y matemático Paolo Ruffini (1765-1822) profundizó en el estudio de los grupos de permutaciones –aunque él tampoco usó esa terminología– iniciado por Lagrange, y creyó haber demostrado que, efectivamente, la ecuación general de quinto grado no puede ser resuelta mediante radicales –esto es, partiendo de los coeficientes y usando sólo sumas, productos, cocientes y raíces para construir la fórmula–. Ruffini solicitó que se reconociera su resultado; sin éxito, sus trabajos pasaron sin pena ni gloria, hasta el punto de que fueron necesarias varias décadas para descubrir que había una seria laguna en su demostración.
Poco después de la muerte de Ruffini, Niels Henrik Abel entró en escena (sobre Abel véase: Abel, o la tragedia de ser un joven genio). Partiendo de los trabajos de Lagrange y de Gauss –sobre ecuaciones ciclotómicas–, trató de encontrar una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado; creyó haberlo logrado, pero finalmente acabó convencido de que tal fórmula no existía. Abel presentó varias demostraciones de esa imposibilidad, la primera en 1826, y aunque también adolecen de algunas deficiencias, se consideran suficientemente satisfactorias como para adscribirle la fama de haber establecido la imposibilidad de resolver mediante radicales las ecuaciones de grado quinto –y superior–. Abel supuso la existencia de una fórmula que permitiera calcular las raíces de cualquier polinomio de grado quinto: una especie de torre construida con distintos niveles de expresiones algebraicas de los coeficientes de la ecuación. Grosso modo, Abel mostró que si un nivel de esa torre es invariante para una permutación de las raíces, entonces también lo es el nivel siguiente de la torre –eso permitía rellenar el vacío en la demostración de Ruffini, cuyos trabajos Abel no conocía–; a partir de lo cual Abel derivó una contradicción, mostrando la imposibilidad de que tal fórmula general pueda existir. Por supuesto, sí que puede existir una fórmula para resolver por radicales algunos casos particulares de ecuaciones, como las que tienen la forma \(x^p-1=0\), estudiadas por Gauss en relación con la construcción con regla y compás de polígonos regulares.
Quedaba pues pendiente el importante problema de caracterizar qué ecuaciones en concreto podían ser resueltas por radicales. La respuesta completa la encontró Évariste Galois (1811-1832), el más romántico –en el sentido literal del término– de los matemáticos. Pero esto lo trataremos en otra entrada.
Referencias
A.J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
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