En una entrada anterior, Galois, el más romántico de los matemáticos, me quedé comentando las tres memorias matemáticas que Galois escribió la noche antes de que lo mataran en un duelo.
En la carta que encabeza esas memorias, Galois escribió: «Mi querido amigo: He hecho algunos nuevos descubrimientos en análisis. Algunos son relativos a la teoría de ecuaciones; otros con funciones integrales. En la teoría de ecuaciones, he buscado descubrir las condiciones bajo las que una ecuación algebraica es resoluble por radicales, y esto me ha dado la oportunidad de estudiar la teoría y describir todas las posibles transformaciones de una ecuación, incluso cuando esta no sea resoluble por radicales. Es posible hacer tres memorias de todo esto. La primera está escrita, y, a pesar de lo que Poisson ha dicho de ella, la mantengo, con las correcciones que he hecho. La segunda contiene algunas interesantes aplicaciones de la teoría de ecuaciones. La tercera memoria es relativa a integrales. Pídele públicamente a Jacobi o a Gauss sus opiniones, no acerca de la verdad, sino de la importancia de los teoremas. Después habrá, espero, gente que encuentre beneficio en descifrar este lío. Un efusivo abrazo. E. Galois».
Siguiendo el deseo expresado en esa carta, sus obras fueron recopiladas por su hermano y un amigo, y enviadas a Jacobi y Gauss. Finalmente llegaron a manos de Liouville, quien se tomó el trabajo de estudiarlas, y reconoció su importancia. Las publicó en 1846.
La teoría de Galois para la resolución de ecuaciones polinómicas necesitó del estudio y desarrollo de dos estructuras algebraicas asociadas: la de grupo y la de cuerpo. Como comenté en la entrada Lagrange contra la ecuación quíntica, la de grupos tiene su origen en los trabajos de Lagrange y de Ruffini sobre grupos de permutaciones. Partiendo de lo conseguido por este último, Cauchy hizo notables contribuciones en la segunda década del siglo XIX, y sobre todo hacia 1840, un poco antes de que Liouville publicara los trabajos de Galois. Estos contenían también muchos resultados notables, entre ellos el concepto de subgrupo normal \(H\) de un grupo \(G\) de permutaciones: \(H\) es normal si verifica que \(gH=Hg\) para cada permutación \(g\) del grupo \(G\).
La otra estructura fundamental en la teoría de Galois es la de cuerpo; corresponde a un conjunto con dos operaciones, cada una de las cuales tiene estructura de grupo –eliminando la exigencia de inverso para el cero–, y una relación de distributividad entre las dos operaciones. Los números racionales, los reales y los complejos son ejemplos de cuerpos, así como los cuerpos finitos que corresponden con los restos al dividir los números enteros por un primo –todos ellos con las habituales operaciones de suma y multiplicación–. Están también los cuerpos que manejó Galois en sus estudios; por un lado, el de todas las expresiones racionales que se pueden formar con los coeficientes de una ecuación, y por otro, los cuerpos de extensión que se pueden formar a partir de uno dado, por el procedimiento de añadir alguna expresión irracional de alguno o algunos elementos del cuerpo que queremos extender.
Siguiendo a Lagrange, la idea de Galois fue asociar a cada ecuación un grupo \(G\) de permutaciones y estudiar su «solubilidad». Sin entrar en detalles técnicos, un grupo finito \(G\) se llama soluble si admite una cadena de subgrupos \({1}=G_0⊆G_1⊆⋯⊆G_n=G\), de forma que \(G_i\) sea un subgrupo normal de \(G_{i+1}\) y el cociente entre el número de elementos de \(G_{i+1}\) y \(G_i\) sea un número primo \(p_i\). Galois demostró que si el grupo \(G\) asociado a una ecuación es soluble, a partir de la correspondiente cadena de subgrupos se puede formar una torre de cuerpos; el primero de estos está formado por las expresiones racionales de los coeficientes de la ecuación, y los otros añadiendo sucesivas raíces de orden \(p_i\) de elementos del cuerpo anterior; el último cuerpo, además, contiene todas las soluciones de la ecuación. Como consecuencia, esa torre de cuerpos muestra cómo construir las soluciones de la ecuación partiendo de los coeficientes y usando sólo operaciones algebraicas –sumas, productos y raíces–. Galois cerró el círculo mostrando que la solubilidad del grupo \(G\) asociado a una ecuación es justamente la condición que permite resolver la ecuación dada mediante radicales.
La teoría de Galois es de una belleza arrebatadora, y muestra cómo la resolución por radicales de una ecuación equivale a la existencia de suficiente simetría en la forma en que podemos intercambiar sus soluciones. Todavía hoy hay importantes problemas abiertos en teoría de Galois, como el llamado problema inverso de Galois, que pregunta si todo grupo finito \(G\) es el grupo de Galois asociado a alguna torre de cuerpos de extensión de los números racionales.
Referencias
A.J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
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