Solución: Tres seguidas en binario

Publicamos la solución al divertimento de las tres cifras seguidas en binario. Muchas gracias a Don Diedro y Don Pablo, Antonio Medinilla Garófano y David Ramos Orozco y Rubén Ríos Mallqui por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento

Sea \(n>2\) un entero. Probar que \(n^2-1\) en binario tiene al menos tres cifras consecutivas iguales.

Solución

Vamos a considerar tres casos distintos:
\(n\) es impar. En este caso, \(n+1\) y \(n-1\) son pares, y uno de ellos múltiplo de \(4\) además. Por tanto, \(n^2-1\) es un múltiplo no nulo de \(8\), así que sus tres últimas cifras serán \(000\).
\(n\) es par pero no múltiplo de \(4\). En particular, \(n/2\) es impar, así que, como en el párrafo anterior, \((n/2)^2-1\) es un múltiplo de \(8\) no nulo, digamos \(8k\). Por tanto, \(n^2-1=4((n/2)^2-1)+3=32k+3\). Como por la asunción inicial \(n\geq6\), tenemos que \(n^2-1\geq35\), así que tiene al menos seis dígitos y los últimos cinco serán \(00011\).
\(n\) es múltiplo de \(4\). En ese caso \(n^2-1\) es un múltiplo no nulo de \(16\) menos uno, y sus últimas cuatro cifras serán \(1111\).